# Integral de arctg x: fórmula, passo a passo e exemplos

> A integral de arctg x é x arctg x − ½ ln(1+x²) + C. Veja a integração por partes passo a passo, a verificação, integrais definidas e exemplos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/integrais/integral-de-arctg-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \int \arctan x\,dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C $$

## Visão geral

- **Primitiva:** $x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$
- **Método:** Integração por partes com $u = \arctan x$, $dv = dx$
- **De 0 a 1:** $\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln 2 \approx 0.439$
- **Integral relacionada:** $\int \frac{dx}{1+x^2} = \arctan x + C$

## Pontos principais

- A integral de $\arctan x$ é $x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$.
- Use integração por partes com $u = \arctan x$ e $dv = dx$. A integral que sobra, $\int\frac{x}{1+x^2}\,dx$, é uma substituição logarítmica simples.
- Não há módulo em $\ln(1+x^2)$ porque $1 + x^2$ é sempre positivo.
- O mesmo truque, partes com $dv = dx$, funciona para $\ln x$, $\arcsin x$ e $\arccos x$.

A **integral de $\arctan x$ é $x\arctan x - \dfrac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$**. Nenhuma regra básica desfaz a arctg diretamente, então o caminho padrão é a integração por partes com um fator 1 "escondido".

$$\int \arctan x\,dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$$

## Gráfico de arctg x e de sua primitiva

```graph
title: 'y = arctg x e sua primitiva'
caption: 'A área sombreada de $0$ a $1$ vale $\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln 2 \approx 0.439$. A primitiva tracejada tem mínimo em $x = 0$, onde $\arctan x$ troca de sinal.'
x: [-4, 4]
y: [-2, 3.5]
functions:
  - expr: arctan(x)
    label: y = arctg x
  - expr: x*arctan(x) - 0.5*ln(1+x^2)
    label: y = x arctg x − ½ ln(1+x²)
    dashed: true
shade:
  expr: arctan(x)
  from: 0
  to: 1
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
```

## Como integrar arctg x passo a passo

O truque é escrever $\arctan x$ como $\arctan x \cdot 1$ e usar a [integração por partes](/rules/integration-by-parts-rule), $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.

1. **Escolha as partes.** $u = \arctan x$ e $dv = dx$. Então $du = \frac{1}{1+x^2}\,dx$ e $v = x$.
2. **Aplique a fórmula.**
$$\int \arctan x\,dx = x\arctan x - \int \frac{x}{1+x^2}\,dx$$
3. **Resolva a integral que sobrou** com $w = 1 + x^2$, $dw = 2x\,dx$:
$$\int \frac{x}{1+x^2}\,dx = \frac{1}{2}\int\frac{dw}{w} = \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$$
4. **Junte.**
$$\int \arctan x\,dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$$

Por que escolher $u = \arctan x$? Sua derivada $\frac{1}{1+x^2}$ é algébrica e muito mais fácil de manipular. Na ordem LIATE, as trigonométricas inversas vêm logo no começo, então são boas escolhas para $u$.

## Verificação por derivação

$$\frac{d}{dx}\left(x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2)\right) = \arctan x + \frac{x}{1+x^2} - \frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{1+x^2} = \arctan x$$

As duas frações se cancelam exatamente, e sobra $\arctan x$.

## Integrais definidas

**De 0 a 1:**

$$\int_0^1 \arctan x\,dx = \left(1\cdot\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln 2\right) - (0 - 0) = \frac{\pi}{4} - \frac{\ln 2}{2} \approx 0.439$$

**De −1 a 1:** $\arctan x$ é uma função ímpar, então $\int_{-1}^{1}\arctan x\,dx = 0$. A área acima do eixo, à direita, cancela a área abaixo, à esquerda.

**De 0 a √3:** $\sqrt{3}\cdot\frac{\pi}{3} - \frac{1}{2}\ln 4 = \frac{\pi\sqrt{3}}{3} - \ln 2 \approx 1.121$.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: uma entrada multiplicada.** $\int \arctan(2x)\,dx$. Seja $u = 2x$, então $dx = \frac{du}{2}$:

$$\frac{1}{2}\left(u\arctan u - \frac{1}{2}\ln(1+u^2)\right) + C = x\arctan(2x) - \frac{1}{4}\ln(1+4x^2) + C$$

Verificação: a derivada é $\arctan 2x + \frac{2x}{1+4x^2} - \frac{1}{4}\cdot\frac{8x}{1+4x^2} = \arctan 2x$.

**Exemplo 2: x vezes arctg x.** Tome $u = \arctan x$ e $dv = x\,dx$, então $v = \frac{x^2}{2}$:

$$\int x\arctan x\,dx = \frac{x^2}{2}\arctan x - \frac{1}{2}\int\frac{x^2}{1+x^2}\,dx$$

Escreva $\frac{x^2}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2}$, cuja integral é $x - \arctan x$. Assim,

$$\int x\arctan x\,dx = \frac{1}{2}(x^2 + 1)\arctan x - \frac{x}{2} + C$$

**Exemplo 3: arctg da raiz quadrada.** Para $\int\arctan\sqrt{x}\,dx$, faça primeiro $x = t^2$ e depois use partes. O resultado é $(x+1)\arctan\sqrt{x} - \sqrt{x} + C$, o que você pode confirmar derivando.

## Erros comuns

1. **Responder $\frac{1}{1+x^2}$.** Essa é a derivada de $\arctan x$, e não sua integral. Veja a [derivada de arctg x](/derivatives/arctan-x).
2. **Confundir arctg com o inverso de tg.** $\tan^{-1}x$ é a função inversa. $\frac{1}{\tan x} = \cot x$ é outra função; veja a [integral de cotg x](/integrals/cot-x).
3. **Perder o fator $\frac{1}{2}$.** Em $\int\frac{x}{1+x^2}\,dx$, a substituição dá $\frac{1}{2}\ln(1+x^2)$, e não $\ln(1+x^2)$.
4. **Inverter os papéis.** Escolher $u = 1$ e $dv = \arctan x\,dx$ exige justamente a integral que você está tentando achar. Sempre derive a função trigonométrica inversa.

Para obter a arctg como resposta em vez de integrá-la, veja a [integral de 1/(1+x²)](/integrals/1-over-1-plus-x-squared). O mesmo truque de partes aparece na página da [integral de ln x](/integrals/ln-x), e o [guia de integração por partes](/blog/integration-by-parts) traz mais prática.

## Perguntas frequentes

### Qual é a integral de arctg x?

É $x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$.

### Qual é a integral de tg⁻¹ x?

$\tan^{-1} x$ significa $\arctan x$, então a integral é a mesma: $x\tan^{-1} x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$. Não é $\int\frac{1}{\tan x}\,dx$, que vale $\ln\lvert\sin x\rvert + C$.

### Qual é a integral de arctg(2x)?

É $x\arctan(2x) - \frac{1}{4}\ln(1+4x^2) + C$. Substitua $u = 2x$ e use a fórmula básica, ou faça partes diretamente.

### Qual é a integral de x arctg x?

É $\frac{1}{2}(x^2+1)\arctan x - \frac{x}{2} + C$, por partes com $u = \arctan x$ e $dv = x\,dx$.