# Integral de uma constante e de 1: fórmula e exemplos

> A integral de uma constante k é kx + C, e a integral de 1 é x + C. Veja por quê, a interpretação como área, integrais definidas e os erros a evitar.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/integrais/integral-de-constante
Atualizado: 2026-11-06

$$ \int k\,dx = kx + C $$

## Visão geral

- **Primitiva:** $kx + C$
- **Integral de 1:** $\int 1\,dx = x + C$
- **Integral de 0:** $\int 0\,dx = C$
- **Integral definida:** $\int_a^b k\,dx = k(b - a)$
- **Verificação:** $\dfrac{d}{dx}(kx + C) = k$

## Pontos principais

- A integral de uma constante $k$ é $kx + C$. A integral de $1$ é $x + C$.
- Geometricamente, $\int_a^b k\,dx = k(b - a)$ é a área de um retângulo de altura $k$ e largura $b - a$.
- Qualquer expressão sem $x$ é uma constante: $\int \pi\,dx = \pi x + C$ e $\int e^2\,dx = e^2 x + C$.
- A integral de $0$ é $C$, e não $0$, porque toda constante tem derivada $0$.

A **integral de uma constante $k$ é $kx + C$**. Em particular, a **integral de $1$ é $x + C$**. É a integral mais simples do cálculo, e quase todas as outras integrais a usam em algum momento, geralmente no último termo de um polinômio.

$$\int k\,dx = kx + C, \qquad \int 1\,dx = \int dx = x + C$$

## Gráfico: uma constante gera um retângulo

```graph
title: 'Área sob y = 3 de x = 0 a x = 2, com a primitiva y = 3x'
caption: 'O retângulo sombreado tem altura $3$ e largura $2$, então sua área é $6$. A reta tracejada $y = 3x$ é a primitiva: ela sobe exatamente $6$ entre $x = 0$ e $x = 2$.'
x: [-0.5, 3]
y: [-1, 8]
functions:
  - expr: '3'
    label: y = 3
  - expr: 3x
    label: y = 3x (primitiva)
    dashed: true
shade: {expr: '3', from: 0, to: 2}
points:
  - [2, 6, '(2, 6)']
```

A área sob uma reta horizontal é sempre um retângulo. Sua altura é $k$ e sua largura é o quanto $x$ avançou, então a área acumulada cresce como $kx$. A fórmula inteira cabe nessa figura.

## Por que a integral de k é kx + C

Uma integral pergunta: qual função tem esta derivada? Queremos uma função cuja inclinação seja $k$ em todo ponto. Uma reta de inclinação $k$ faz exatamente isso:

$$\frac{d}{dx}(kx) = k$$

Somar qualquer constante $C$ desloca a reta para cima ou para baixo sem mudar sua inclinação, então toda função $kx + C$ serve. Também dá para ver isso como a [regra da potência inversa](/rules/reverse-power-rule) com $n = 0$: como $k = kx^0$,

$$\int kx^0\,dx = k\cdot\frac{x^{1}}{1} + C = kx + C$$

## Verificação por derivação

Sempre confira uma primitiva calculando sua derivada:

$$\frac{d}{dx}\left(kx + C\right) = k + 0 = k \checkmark$$

A página correspondente de derivadas é a [derivada de uma constante](/derivatives/constant), que faz o mesmo raciocínio no sentido contrário: a derivada de qualquer constante é $0$.

## Integrais definidas de uma constante

Pelo [Teorema Fundamental do Cálculo](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2):

$$\int_a^b k\,dx = \Big[kx\Big]_a^b = kb - ka = k(b - a)$$

Se $k$ for negativo, o retângulo fica abaixo do eixo e o resultado é negativo. Por exemplo, $\int_0^4 (-2)\,dx = -8$.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1.** $\int 7\,dx = 7x + C$.

**Exemplo 2: constantes que parecem variáveis.** Qualquer número sem $x$ conta como constante, mesmo que seja escrito com um símbolo:

$$\int \pi\,dx = \pi x + C, \qquad \int e^2\,dx = e^2 x + C, \qquad \int \ln 5\,dx = x\ln 5 + C$$

**Exemplo 3: dentro de um polinômio.** Usando as [propriedades de linearidade](/rules/integral-linearity-rules):

$$\int (6x^2 - 4x + 9)\,dx = 2x^3 - 2x^2 + 9x + C$$

O $9$ vira $9x$. Veja a [integral de x](/integrals/x) e a [integral de x²](/integrals/x-squared) para os outros dois termos.

**Exemplo 4: outra variável.** $\int 3\,dt = 3t + C$. A variável da resposta é a mesma de $dt$.

**Exemplo 5: uma integral definida.** $\int_{-1}^{4} 3\,dx = 3\big(4 - (-1)\big) = 15$.

## Erros comuns

1. **Integrar uma constante e obter 0.** Essa é a regra da derivada. A integração vai no sentido oposto: $\int 5\,dx = 5x + C$, e não $0$.
2. **Escrever $5 + C$.** A resposta precisa conter $x$. Confira: a derivada de $5 + C$ é $0$, e não $5$.
3. **Esquecer o $+ C$.** Sem ele você tem apenas uma primitiva, e não todas.
4. **Tratar $e^2$ ou $\pi^2$ como potência de $x$.** São apenas números. $\int e^2\,dx$ é $e^2x + C$, e não $\frac{e^3}{3}$.

Quer praticar mais? Tente os [exercícios de primitivas](/practice-problems/antiderivatives) ou leia o guia sobre [antiderivadas](/blog/antiderivatives).

## Perguntas frequentes

### Qual é a integral de 1?

A integral de $1$ é $x + C$. Escrita sozinha, $\int dx$ significa a mesma coisa e também vale $x + C$.

### Qual é a integral de uma constante k?

É $kx + C$. Confira derivando: a derivada de $kx$ é $k$ e a derivada de $C$ é $0$.

### Qual é a integral de 0?

É uma constante arbitrária $C$. Toda função constante tem derivada $0$, então a primitiva de $0$ é qualquer constante.

### Qual é a integral de 5 de 2 a 7?

É $5(7 - 2) = 25$, a área de um retângulo de $5$ por $5$.