# Integral de cos² x: fórmula, dedução e exemplos

> A integral de cos² x é x/2 + sen(2x)/4 + C. Veja a identidade de redução de potência, a verificação, cos²(ax) e a área do círculo.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/integrais/integral-de-cos-quadrado-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \int \cos^2 x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C $$

## Visão geral

- **Primitiva:** $\dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin 2x}{4} + C$
- **Identidade usada:** $\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}$
- **Forma equivalente:** $\dfrac{x + \sin x\cos x}{2} + C$
- **De 0 a 2π:** $\pi$
- **Verificação com sen²:** $\int(\sin^2 x + \cos^2 x)\,dx = x + C$

## Pontos principais

- A integral de $\cos^2 x$ é $\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$.
- Reescreva com $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ antes de integrar.
- Somá-la à integral de $\sin^2 x$ dá $x + C$, um jeito rápido de conferir os sinais.
- Essa integral aparece sempre que uma substituição trigonométrica encontra $\sqrt{1 - x^2}$, como na área do círculo.

A **integral de $\cos^2 x$ é $\dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin 2x}{4} + C$**. Assim como $\sin^2 x$, ela precisa de uma identidade de redução de potência antes da integração.

$$\int \cos^2 x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$$

## Gráfico de cos² x e de sua primitiva

```graph
title: 'Área sob y = cos² x de -π/2 a π/2, com a primitiva y = x/2 + sen(2x)/4'
caption: 'A área sombreada é $\frac{\pi}{2} \approx 1.571$. A primitiva tracejada cresce mais rápido em $x = 0$, onde $\cos^2 x = 1$, e fica plana onde $\cos^2 x = 0$.'
x: [-3.5, 3.5]
y: [-2, 2]
functions:
  - expr: cos(x)^2
    label: y = cos² x
  - expr: x/2 + sin(2x)/4
    label: y = x/2 + sen(2x)/4 (primitiva)
    dashed: true
shade: {expr: cos(x)^2, from: -1.5708, to: 1.5708}
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
```

## Dedução, passo a passo

1. Parta de $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.
2. Isole $\cos^2 x$: $\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}$.
3. Substitua: $\displaystyle\int\cos^2 x\,dx = \frac{1}{2}\int(1 + \cos 2x)\,dx$.
4. Integre: $\frac{1}{2}\left(x + \frac{\sin 2x}{2}\right) + C$.
5. Simplifique: $\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$.

O passo 4 usa a [integral de cos x](/integrals/cos-x) com um fator $\frac{1}{2}$ vindo do $2x$ de dentro.

## Verificação por derivação

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4}\right) = \frac{1}{2} + \frac{\cos 2x}{2} = \cos^2 x \checkmark$$

Uma segunda verificação: some esta resposta à [integral de sen² x](/integrals/sin-squared-x):

$$\left(\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4}\right) + \left(\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4}\right) = x$$

Isso confere com $\int(\sin^2 x + \cos^2 x)\,dx = \int 1\,dx = x$. O sentido direto está na página da [derivada de cos² x](/derivatives/cos-squared-x).

## Integrais definidas

$$\int_0^{\pi/2}\cos^2 x\,dx = \frac{\pi}{4}, \qquad \int_0^{\pi}\cos^2 x\,dx = \frac{\pi}{2}, \qquad \int_0^{2\pi}\cos^2 x\,dx = \pi$$

$$\int_0^{\pi/6}\cos^2 x\,dx = \frac{\pi}{12} + \frac{\sin(\pi/3)}{4} = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{8} \approx 0.478$$

## Variantes por substituição

$$\int\cos^2(ax)\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin(2ax)}{4a} + C$$

**Exemplo 1.** $\int\cos^2(5x)\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 10x}{20} + C$.

**Exemplo 2.** $\int\cos^2\frac{x}{2}\,dx = \int\frac{1 + \cos x}{2}\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin x}{2} + C$.

**Exemplo 3: com um fator sen x.** $\int\cos^2 x\sin x\,dx = -\frac{\cos^3 x}{3} + C$, usando $u = \cos x$. Nenhuma identidade é necessária.

## Onde ela aparece: a área do círculo

A área de um círculo de raio $1$ é $4\int_0^1\sqrt{1 - x^2}\,dx$. Substitua $x = \sin\theta$, $dx = \cos\theta\,d\theta$:

$$4\int_0^{\pi/2}\cos\theta\cdot\cos\theta\,d\theta = 4\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta = 4\cdot\frac{\pi}{4} = \pi$$

Os mesmos passos dão a [integral de √(1 - x²)](/integrals/sqrt-1-minus-x-squared). Veja o método em [substituição trigonométrica](/blog/trig-substitution).

## Exemplo resolvido: cos² x sen² x

Use $\sin x\cos x = \frac{\sin 2x}{2}$, então $\sin^2 x\cos^2 x = \frac{\sin^2 2x}{4} = \frac{1 - \cos 4x}{8}$. Assim,

$$\int\sin^2 x\cos^2 x\,dx = \frac{x}{8} - \frac{\sin 4x}{32} + C$$

## Erros comuns

1. **Responder $\sin^2 x$.** Sua derivada é $2\sin x\cos x$.
2. **Responder $\frac{\cos^3 x}{3}$.** Isso exigiria um fator $-\sin x$.
3. **Usar $1 - \cos 2x$.** Essa identidade é a de $\sin^2 x$. Um teste rápido: em $x = 0$, $\cos^2 x = 1$, e $\frac{1 + \cos 0}{2} = 1$.
4. **Escrever $\frac{\sin 2x}{2}$ em vez de $\frac{\sin 2x}{4}$.** Lembre das duas divisões por dois: uma da identidade e outra do $2x$ de dentro.

Pratique com os [exercícios de integrais trigonométricas](/practice-problems/trig-integrals).

## Perguntas frequentes

### Qual é a integral de cos² x?

É $\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$, ou, de forma equivalente, $\frac{1}{2}(x + \sin x\cos x) + C$.

### Qual é a integral de cos² x de 0 a 2π?

É $\pi$. O termo $\sin 2x$ vale $0$ nas duas extremidades, e sobra $\frac{2\pi}{2}$.

### Qual é a integral de cos²(x/2)?

Como $\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$, a integral é $\frac{x}{2} + \frac{\sin x}{2} + C$.

### Qual é a integral de cos² x sen x?

Use $u = \cos x$, $du = -\sin x\,dx$. A resposta é $-\frac{\cos^3 x}{3} + C$.