# Integral de cos x: fórmula, dedução e exemplos

> A integral de cos x é sen x + C. Veja por que não há sinal de menos, a área de um arco, cos(ax + b) por substituição e exemplos de integrais definidas.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/integrais/integral-de-cos-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \int \cos x\,dx = \sin x + C $$

## Visão geral

- **Primitiva:** $\sin x + C$
- **Área de um arco:** $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos x\,dx = 2$
- **Período completo:** $\int_0^{2\pi}\cos x\,dx = 0$
- **Forma linear:** $\int\cos(ax + b)\,dx = \dfrac{1}{a}\sin(ax + b) + C$
- **Verificação:** $\dfrac{d}{dx}\sin x = \cos x$

## Pontos principais

- A integral de $\cos x$ é $\sin x + C$, sem sinal de menos.
- O arco de $\cos x$ de $-\frac{\pi}{2}$ a $\frac{\pi}{2}$ tem área $2$.
- Para $\cos(ax + b)$, divida por $a$: $\int\cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\sin(2x) + C$.
- O sinal de menos pertence ao outro par: $\int\sin x\,dx = -\cos x + C$.

A **integral de $\cos x$ é $\sin x + C$**. Como a derivada de $\sin x$ é exatamente $\cos x$, essa é uma das integrais mais limpas que existem.

$$\int \cos x\,dx = \sin x + C$$

## Gráfico de cos x e de sua primitiva

```graph
title: 'Área sob y = cos x de -π/2 a π/2, com a primitiva y = sen x'
caption: 'O arco sombreado tem área $\sin\frac{\pi}{2} - \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 2$. A curva tracejada $y = \sin x$ sobe de $-1$ a $1$ no mesmo intervalo.'
x: [-3.5, 5]
y: [-1.6, 1.6]
functions:
  - expr: cos(x)
    label: y = cos x
  - expr: sin(x)
    label: y = sen x (primitiva)
    dashed: true
shade: {expr: cos(x), from: -1.5708, to: 1.5708}
points:
  - [1.5708, 1, '(π/2, 1)']
```

A primitiva $\sin x$ atinge o máximo em $x = \frac{\pi}{2}$, exatamente onde $\cos x$ passa de positivo para negativo.

## Dedução, passo a passo

1. Pergunte: qual função tem derivada $\cos x$?
2. A [derivada de sen x](/derivatives/sin-x) é $\cos x$.
3. Então $\sin x$ é uma primitiva de $\cos x$.
4. Some $C$ para incluir todas as primitivas: $\sin x + C$.

Aqui não é preciso corrigir sinal, ao contrário da [integral de sen x](/integrals/sin-x).

## Verificação por derivação

$$\frac{d}{dx}(\sin x + C) = \cos x \checkmark$$

## Integrais definidas

| Integral | Valor |
| --- | --- |
| $\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx$ | $\sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1$ |
| $\int_0^{\pi/6}\cos x\,dx$ | $\frac{1}{2}$ |
| $\int_0^{\pi}\cos x\,dx$ | $0$ |
| $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos x\,dx$ | $2$ |

Como $\cos x$ é par, $\int_{-a}^{a}\cos x\,dx = 2\int_0^a\cos x\,dx = 2\sin a$.

## Variantes por substituição

Com $u = ax + b$:

$$\int\cos(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax + b) + C$$

Por exemplo, $\int\cos(4x - 1)\,dx = \frac{1}{4}\sin(4x - 1) + C$ e $\int\cos(\pi x)\,dx = \frac{1}{\pi}\sin(\pi x) + C$.

Quando a derivada da função de dentro aparece como fator, use a [substituição (mudança de variável)](/rules/u-substitution-rule):

$$\int \cos x\,e^{\sin x}\,dx = e^{\sin x} + C \quad (u = \sin x)$$

$$\int \cos x\,\sin^3 x\,dx = \frac{\sin^4 x}{4} + C \quad (u = \sin x)$$

$$\int \frac{\cos(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\,dx = 2\sin(\sqrt{x}) + C \quad (u = \sqrt{x})$$

Na última, $du = \frac{1}{2\sqrt{x}}dx$, então $\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\,du$.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1.** $\int(2\cos x - 3\sin x)\,dx = 2\sin x + 3\cos x + C$. Repare como o menos na frente de $\sin$ se combina com o menos de $-\cos x$ e dá $+3\cos x$.

**Exemplo 2.** $\int_0^{\pi/4}\cos(2x)\,dx = \left[\frac{1}{2}\sin(2x)\right]_0^{\pi/4} = \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{2} = \frac{1}{2}$.

**Exemplo 3: um problema de valor inicial.** Se $f'(x) = \cos x$ e $f(0) = 3$, então $f(x) = \sin x + C$ e $f(0) = C = 3$, logo $f(x) = \sin x + 3$.

**Exemplo 4: movimento harmônico simples.** Se uma mola tem velocidade $v(t) = 4\cos(2t)$ e posição $s(0) = 0$, então $s(t) = 2\sin(2t)$. A amplitude é $2$.

## Erros comuns

1. **Escrever $-\sin x$.** Essa é a derivada de $\cos x$, e não a integral.
2. **Esquecer de dividir por $a$.** $\int\cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\sin(3x) + C$, e não $\sin(3x) + C$.
3. **Integrar $\cos^2 x$ como $\sin^2 x$ ou $\frac{\cos^3 x}{3}$.** Potências de funções trigonométricas exigem identidades. Veja a [integral de cos² x](/integrals/cos-squared-x).
4. **Integrar $\cos(x^2)$ como $\frac{\sin(x^2)}{2x}$.** Não se pode dividir por uma derivada interna que depende da variável. $\int\cos(x^2)\,dx$ não tem primitiva elementar.

Pratique com os [exercícios de integrais trigonométricas](/practice-problems/trig-integrals).

## Perguntas frequentes

### Qual é a integral de cos x?

A integral de $\cos x$ é $\sin x + C$.

### Qual é a integral de cos(2x)?

É $\frac{1}{2}\sin(2x) + C$. Verificação: a derivada de $\frac{1}{2}\sin(2x)$ é $\frac{1}{2}\cdot 2\cos(2x) = \cos(2x)$.

### Qual é a integral de cos x de 0 a π?

É $\sin\pi - \sin 0 = 0$. A área acima do eixo em $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ cancela a área abaixo em $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$.

### A integral de cos x é igual a -sen x?

Não. $-\sin x$ é a derivada de $\cos x$. A integral é $+\sin x + C$.