# Integral de cossec x: fórmula, dedução e exemplos

> A integral de cossec x é -ln|cossec x + cotg x| + C, ou ln|cossec x - cotg x| e ln|tg(x/2)|. Veja a dedução, por que as formas coincidem e exemplos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/integrais/integral-de-cossec-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \int \csc x\,dx = -\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C $$

## Visão geral

- **Primitiva:** $-\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C$
- **Forma equivalente:** $\ln\lvert\csc x - \cot x\rvert + C$
- **Forma com arco metade:** $\ln\left\lvert\tan\dfrac{x}{2}\right\rvert + C$
- **Método:** Multiplicar por $\dfrac{\csc x + \cot x}{\csc x + \cot x}$
- **De π/3 a π/2:** $\dfrac{1}{2}\ln 3 \approx 0.549$

## Pontos principais

- A integral de $\csc x$ é $-\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C$.
- Ela também pode ser escrita como $\ln\lvert\csc x - \cot x\rvert + C$ ou $\ln\left\lvert\tan\frac{x}{2}\right\rvert + C$.
- A dedução espelha a de $\sec x$, com um sinal de menos extra vindo das derivadas de $\csc$ e $\cot$.
- A integral de $\frac{1}{\sin x}$ é a mesma coisa, já que $\csc x = \frac{1}{\sin x}$.

A **integral de $\csc x$ é $-\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C$**. Ela é a gêmea, com cossecante, da [integral de sec x](/integrals/sec-x), e é deduzida com o mesmo truque.

$$\int \csc x\,dx = -\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C = \ln\lvert\csc x - \cot x\rvert + C$$

## Gráfico de cossec x e a área sob ele

```graph
title: 'Área sob y = cossec x de π/3 a π/2, com a primitiva y = ln|tg(x/2)|'
caption: 'A área sombreada é $\frac{1}{2}\ln 3 \approx 0.549$. A primitiva tracejada corta o zero em $x = \frac{\pi}{2}$, onde $\tan\frac{\pi}{4} = 1$.'
x: [-0.2, 3.4]
y: [-3, 4]
functions:
  - expr: csc(x)
    label: y = cossec x
    domain: [0.26, 2.88]
  - expr: ln(abs(tan(x/2)))
    label: y = ln|tg(x/2)| (primitiva)
    dashed: true
    domain: [0.1, 3.04]
shade: {expr: csc(x), from: 1.0472, to: 1.5708}
points:
  - [1.5708, 1, '(π/2, 1)']
```

## Dedução, passo a passo

1. Multiplique por $\frac{\csc x + \cot x}{\csc x + \cot x}$:
$$\int\csc x\,dx = \int\frac{\csc^2 x + \csc x\cot x}{\csc x + \cot x}\,dx$$
2. Seja $u = \csc x + \cot x$. Usando a [derivada de cossec x](/derivatives/csc-x) e a [derivada de cotg x](/derivatives/cot-x):
$$du = (-\csc x\cot x - \csc^2 x)\,dx = -(\csc^2 x + \csc x\cot x)\,dx$$
3. Então o numerador é $-du$, e a integral é $\int\frac{-du}{u} = -\ln\lvert u\rvert + C$.
4. Volte à variável original: $-\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C$.

## Por que as três formas são iguais

Primeiro, $(\csc x + \cot x)(\csc x - \cot x) = \csc^2 x - \cot^2 x = 1$. Então

$$-\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert = \ln\frac{1}{\lvert\csc x + \cot x\rvert} = \ln\lvert\csc x - \cot x\rvert$$

Segundo, $\csc x - \cot x = \frac{1 - \cos x}{\sin x}$, e a identidade do arco metade diz que $\frac{1 - \cos x}{\sin x} = \tan\frac{x}{2}$. Isso dá $\ln\left\lvert\tan\frac{x}{2}\right\rvert$.

## Verificação por derivação

Use a forma $\ln\lvert\csc x - \cot x\rvert$:

$$\frac{d}{dx}\ln\lvert\csc x - \cot x\rvert = \frac{-\csc x\cot x + \csc^2 x}{\csc x - \cot x} = \frac{\csc x(\csc x - \cot x)}{\csc x - \cot x} = \csc x \checkmark$$

## Integrais definidas

Em $x = \frac{\pi}{2}$: $\csc - \cot = 1 - 0 = 1$, então a primitiva vale $\ln 1 = 0$. Em $x = \frac{\pi}{3}$: $\csc - \cot = \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Assim,

$$\int_{\pi/3}^{\pi/2}\csc x\,dx = 0 - \ln\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}\ln 3 \approx 0.549$$

A integral a partir de $0$ diverge, porque $\csc x$ tem uma assíntota vertical em $x = 0$ e $\ln\tan\frac{x}{2} \to -\infty$.

## Variantes por substituição

$$\int\csc(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\ln\lvert\csc(ax + b) - \cot(ax + b)\rvert + C$$

**Exemplo 1.** $\int\csc(3x)\,dx = \frac{1}{3}\ln\lvert\csc 3x - \cot 3x\rvert + C$.

**Exemplo 2.** $\int\frac{dx}{2\sin x\cos x} = \int\frac{dx}{\sin 2x} = \int\csc(2x)\,dx = \frac{1}{2}\ln\lvert\tan x\rvert + C$, usando a forma do arco metade com $\frac{2x}{2} = x$.

**Exemplo 3.** $\int\frac{\cos x}{\sin x}\,dx$ parece parecida, mas é a [integral de cotg x](/integrals/cot-x), que vale $\ln\lvert\sin x\rvert + C$.

## Erros comuns

1. **Responder $-\csc x\cot x$.** Essa é a derivada de $\csc x$.
2. **Perder o sinal de menos** na frente de $\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert$. A derivada passaria a ser $-\csc x$.
3. **Misturar as formas.** $-\ln\lvert\csc x - \cot x\rvert$ está errado: o sinal de menos acompanha o mais de dentro, e vice-versa.
4. **Responder $-\cot x$.** Essa é a integral de $\csc^2 x$, e não de $\csc x$.

Pratique com os [exercícios de integrais trigonométricas](/practice-problems/trig-integrals).

## Perguntas frequentes

### Qual é a integral de cossec x?

A integral de $\csc x$ é $-\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C$, que é igual a $\ln\lvert\csc x - \cot x\rvert + C$.

### Por que -ln|cossec x + cotg x| e ln|cossec x - cotg x| coincidem?

$(\csc x + \cot x)(\csc x - \cot x) = \csc^2 x - \cot^2 x = 1$, então $\csc x - \cot x = \frac{1}{\csc x + \cot x}$. O logaritmo transforma o inverso num sinal de menos.

### Qual é a integral de 1/sen x?

Como $\frac{1}{\sin x} = \csc x$, ela é $\ln\left\lvert\tan\frac{x}{2}\right\rvert + C$, ou qualquer uma das formas equivalentes.

### Qual é a integral de cossec(3x)?

É $\frac{1}{3}\ln\lvert\csc 3x - \cot 3x\rvert + C$.