# Integral de cotg x (cotangente): fórmula, dedução e exemplos

> A integral de cotg x é ln|sen x| + C. Veja a substituição com u = sen x, a relação com tg x, além de cotg(ax), cotg² x e exemplos de integrais definidas.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/integrais/integral-de-cotg-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \int \cot x\,dx = \ln\lvert\sin x\rvert + C $$

## Visão geral

- **Primitiva:** $\ln\lvert\sin x\rvert + C$
- **Forma equivalente:** $-\ln\lvert\csc x\rvert + C$
- **Método:** Reescreva como $\dfrac{\cos x}{\sin x}$ e faça $u = \sin x$
- **Forma linear:** $\int\cot(ax)\,dx = \dfrac{1}{a}\ln\lvert\sin(ax)\rvert + C$
- **Verificação:** $\dfrac{d}{dx}\ln\lvert\sin x\rvert = \cot x$

## Pontos principais

- A integral de $\cot x$ é $\ln\lvert\sin x\rvert + C$.
- Escreva $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$. O numerador é a derivada do denominador, então a resposta é um logaritmo.
- Ao contrário de $\tan x$, não há sinal de menos: a derivada de $\sin x$ é $+\cos x$.
- Não é $-\csc^2 x$. Essa é a derivada de $\cot x$.

A **integral de $\cot x$ é $\ln\lvert\sin x\rvert + C$**. Ela sai de uma única substituição e é a imagem espelhada da [integral de tg x](/integrals/tan-x).

$$\int \cot x\,dx = \ln\lvert\sin x\rvert + C$$

## Gráfico de cotg x e de sua primitiva

```graph
title: 'Área sob y = cotg x de π/6 a π/2, com a primitiva y = ln|sen x|'
caption: 'A área sombreada é $\ln 2 \approx 0.693$. A primitiva tracejada atinge seu máximo $0$ em $x = \frac{\pi}{2}$, exatamente onde $\cot x$ corta o zero.'
x: [-0.2, 3.4]
y: [-3, 4]
functions:
  - expr: cot(x)
    label: y = cotg x
    domain: [0.25, 2.9]
  - expr: ln(abs(sin(x)))
    label: y = ln|sen x| (primitiva)
    dashed: true
    domain: [0.05, 3.09]
shade: {expr: cot(x), from: 0.5236, to: 1.5708}
points:
  - [1.5708, 0, '(π/2, 0)']
```

## Dedução, passo a passo

1. Reescreva: $\displaystyle\int\cot x\,dx = \int\frac{\cos x}{\sin x}\,dx$.
2. Seja $u = \sin x$. Então $du = \cos x\,dx$.
3. Substitua: $\displaystyle\int\frac{du}{u} = \ln\lvert u\rvert + C$.
4. Volte com $u = \sin x$: $\ln\lvert\sin x\rvert + C$.

O passo 3 é a [integral de 1/x](/integrals/1-over-x). Como $\ln\lvert\sin x\rvert = -\ln\lvert\csc x\rvert$, alguns livros escrevem a resposta como $-\ln\lvert\csc x\rvert + C$. É a mesma função.

## Verificação por derivação

$$\frac{d}{dx}\ln\lvert\sin x\rvert = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x \checkmark$$

O sentido direto é diferente: a [derivada de cotg x](/derivatives/cot-x) é $-\csc^2 x$.

## Comparando tg e cotg

| | $\tan x$ | $\cot x$ |
| --- | --- | --- |
| Reescrita | $\frac{\sin x}{\cos x}$ | $\frac{\cos x}{\sin x}$ |
| Substituição | $u = \cos x$, $du = -\sin x\,dx$ | $u = \sin x$, $du = \cos x\,dx$ |
| Integral | $-\ln\lvert\cos x\rvert + C$ | $\ln\lvert\sin x\rvert + C$ |
| Derivada | $\sec^2 x$ | $-\csc^2 x$ |

O sinal de menos aparece para $\tan x$, mas não para $\cot x$, porque a derivada de $\cos x$ é $-\sin x$, enquanto a derivada de $\sin x$ é $+\cos x$.

## Integrais definidas

$$\int_{\pi/6}^{\pi/2}\cot x\,dx = \ln 1 - \ln\frac{1}{2} = \ln 2$$

$$\int_{\pi/4}^{\pi/2}\cot x\,dx = 0 - \ln\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2}\ln 2$$

Começar em $x = 0$ dá uma integral imprópria divergente, já que $\ln\sin x \to -\infty$ quando $x \to 0^+$.

## Variantes por substituição

$$\int\cot(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\ln\lvert\sin(ax + b)\rvert + C$$

**Exemplo 1.** $\int\cot(4x)\,dx = \frac{1}{4}\ln\lvert\sin 4x\rvert + C$.

**Exemplo 2.** $\int x\cot(x^2)\,dx = \frac{1}{2}\ln\lvert\sin(x^2)\rvert + C$, com $u = x^2$.

**Exemplo 3: cotg ao quadrado.** Use $\cot^2 x = \csc^2 x - 1$:

$$\int\cot^2 x\,dx = \int(\csc^2 x - 1)\,dx = -\cot x - x + C$$

Verificação: $\frac{d}{dx}(-\cot x - x) = \csc^2 x - 1 = \cot^2 x$.

**Exemplo 4: uma cotg disfarçada.** $\int\frac{\cos x}{3\sin x + 2}\,dx = \frac{1}{3}\ln\lvert 3\sin x + 2\rvert + C$, com $u = 3\sin x + 2$.

## Erros comuns

1. **Responder $-\csc^2 x$.** Essa é a derivada de $\cot x$.
2. **Colocar um sinal de menos por analogia com $\tan x$.** $-\ln\lvert\sin x\rvert$ tem derivada $-\cot x$.
3. **Responder $\ln\lvert\cos x\rvert$.** O logaritmo vai no denominador de $\frac{\cos x}{\sin x}$, que é $\sin x$.
4. **Esquecer o módulo.** $\sin x < 0$ em $(\pi, 2\pi)$.

Pratique com os [exercícios de substituição](/practice-problems/u-substitution).

## Perguntas frequentes

### Qual é a integral de cotg x?

A integral de $\cot x$ é $\ln\lvert\sin x\rvert + C$.

### Qual é a integral de cos x / sen x?

Isso é $\cot x$, então a integral é $\ln\lvert\sin x\rvert + C$.

### Qual é a integral de cotg(2x)?

É $\frac{1}{2}\ln\lvert\sin 2x\rvert + C$.

### Qual é a integral de cotg x de π/6 a π/2?

É $\ln\sin\frac{\pi}{2} - \ln\sin\frac{\pi}{6} = 0 - \ln\frac{1}{2} = \ln 2 \approx 0.693$.