# Integral de e^(2x): fórmula, passo a passo e exemplos

> A integral de e^(2x) é ½e^(2x) + C e, em geral, ∫e^(kx) dx = (1/k)e^(kx) + C. Veja a substituição, um gráfico e exemplos resolvidos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/integrais/integral-de-e-elevado-a-2x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C $$

## Visão geral

- **Primitiva:** $\frac{1}{2}e^{2x} + C$
- **Forma geral:** $\int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$ para $k \ne 0$
- **Método:** Substituição $u = 2x$, $du = 2\,dx$
- **De 0 a 1:** $\frac{e^2 - 1}{2} \approx 3.195$

## Pontos principais

- A integral de $e^{2x}$ é $\frac{1}{2}e^{2x} + C$.
- Para qualquer constante $k \ne 0$, $\int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$. Divida pelo coeficiente de $x$.
- Isso só funciona quando o expoente é linear. Para $e^{x^2}$ não existe esse atalho.
- Também dá para ver isso a partir de $e^{2x} = (e^x)^2$, mas a substituição é mais rápida.

A **integral de $e^{2x}$ é $\dfrac{1}{2}e^{2x} + C$**. De modo mais geral, para integrar $e^{kx}$ você mantém a exponencial e divide por $k$.

$$\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C \qquad\qquad \int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C\quad (k \ne 0)$$

## Gráfico de e²ˣ e de sua primitiva

```graph
title: 'y = e^(2x) e sua primitiva ½e^(2x)'
caption: 'A área sombreada de $0$ a $1$ é $\frac{e^2 - 1}{2} \approx 3.195$. A primitiva tracejada tem sempre metade da altura de $e^{2x}$, já que $\frac{1}{2}e^{2x}$ é só $e^{2x}$ reduzida à metade.'
x: [-2, 1.2]
y: [-0.5, 10]
functions:
  - expr: e^(2x)
    label: y = e^(2x)
  - expr: 0.5*e^(2x)
    label: y = ½e^(2x) (primitiva)
    dashed: true
shade:
  expr: e^(2x)
  from: 0
  to: 1
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
```

## Como integrar e²ˣ passo a passo

Use a [substituição (mudança de variável)](/rules/u-substitution-rule).

1. Seja $u = 2x$. Então $du = 2\,dx$, logo $dx = \frac{1}{2}\,du$.
2. Reescreva: $\displaystyle\int e^{2x}\,dx = \int e^u\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int e^u\,du$.
3. Integre: $\frac{1}{2}e^u + C$, usando a [integral de eˣ](/integrals/e-to-the-x).
4. Volte à variável original: $\frac{1}{2}e^{2x} + C$.

Os mesmos passos com $u = kx$ dão $\frac{1}{k}e^{kx} + C$. Com uma constante somada, $u = kx + b$, você obtém $\frac{1}{k}e^{kx + b} + C$.

**Outro jeito de ver.** A regra "divida pela inclinação da expressão de dentro" vale para toda expressão linear: $\int\cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\sin 3x$, $\int (2x+1)^5\,dx = \frac{1}{12}(2x+1)^6$. É o inverso da regra da cadeia, que multiplica pela inclinação de dentro.

## Verificação por derivação

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{k}e^{kx}\right) = \frac{1}{k}\cdot e^{kx}\cdot k = e^{kx}$$

A [regra da cadeia](/rules/chain-rule) produz um fator $k$, e o $\frac{1}{k}$ o cancela. Veja a [derivada de e²ˣ](/derivatives/e-to-the-2x) para o sentido direto.

## Integrais definidas

| Integral | Cálculo | Valor |
| --- | --- | --- |
| $\int_0^1 e^{2x}\,dx$ | $\frac{1}{2}(e^2 - 1)$ | $\approx 3.195$ |
| $\int_0^{\ln 3} e^{2x}\,dx$ | $\frac{1}{2}(9 - 1)$ | $4$ |
| $\int_{-\infty}^{0} e^{2x}\,dx$ | $\frac{1}{2}(1 - 0)$ | $\frac{1}{2}$ |
| $\int_0^{\infty} e^{-3x}\,dx$ | $-\frac{1}{3}(0 - 1)$ | $\frac{1}{3}$ |

Na segunda linha, $e^{2\ln 3} = (e^{\ln 3})^2 = 9$. A última linha é um exemplo de um fato útil: $\int_0^\infty e^{-kx}\,dx = \frac{1}{k}$ para $k > 0$.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: expoente deslocado.** $\displaystyle\int e^{3x + 1}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x+1} + C$.

**Exemplo 2: uma fração no expoente.** $\displaystyle\int e^{x/2}\,dx = 2e^{x/2} + C$, já que $k = \frac{1}{2}$.

**Exemplo 3: expanda antes.** $\displaystyle\int (e^x + 1)^2\,dx$. Expanda para $e^{2x} + 2e^x + 1$:

$$\int (e^{2x} + 2e^x + 1)\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + 2e^x + x + C$$

**Exemplo 4: simplifique um quociente.** $\displaystyle\int \frac{e^{5x}}{e^{3x}}\,dx = \int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C$.

**Exemplo 5: crescimento.** Uma população cresce a uma taxa de $r(t) = 100e^{0.2t}$ por ano. O aumento nos primeiros 5 anos é

$$\int_0^5 100e^{0.2t}\,dt = 500\left(e^{1} - 1\right) \approx 859$$

## Erros comuns

1. **Multiplicar em vez de dividir.** $\int e^{2x}\,dx$ não é $2e^{2x}$. Essa é a derivada.
2. **Dividir por $2x$.** O divisor tem de ser uma constante. Se o expoente não for linear, o atalho não funciona.
3. **Aplicar isso a $e^{x^2}$.** $\int e^{x^2}\,dx$ não tem primitiva elementar. Veja a [integral de e^(x²)](/integrals/e-to-the-x-squared).
4. **Erros de sinal com $k$ negativo.** $\int e^{-2x}\,dx = -\frac{1}{2}e^{-2x} + C$. Veja a [integral de e⁻ˣ](/integrals/e-to-the-negative-x).

## Perguntas frequentes

### Qual é a integral de e^(2x)?

É $\frac{1}{2}e^{2x} + C$.

### Qual é a integral de e^(kx)?

É $\frac{1}{k}e^{kx} + C$ para qualquer constante $k$ não nula. Por exemplo, $\int e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x} + C$ e $\int e^{-4x}\,dx = -\frac{1}{4}e^{-4x} + C$.

### Qual é a integral de e^(x/2)?

É $2e^{x/2} + C$. Aqui $k = \frac{1}{2}$, então $\frac{1}{k} = 2$.

### A integral de e^(2x) é e^(2x)/(2x)?

Não. Você divide pela constante $2$, e não por $2x$. Confira: a derivada de $\frac{1}{2}e^{2x}$ é $e^{2x}$, mas a derivada de $\frac{e^{2x}}{2x}$ não é.