# Integral de e^(−x): fórmula, passo a passo e exemplos

> A integral de e^(−x) é −e^(−x) + C. Veja a substituição, por que a área de 0 ao infinito é 1, um gráfico e exemplos como x e^(−x).

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/integrais/integral-de-e-elevado-a-menos-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C $$

## Visão geral

- **Primitiva:** $-e^{-x} + C$
- **De 0 a ∞:** $1$
- **De 0 a 1:** $1 - \frac{1}{e} \approx 0.632$
- **Forma geral:** $\int e^{-kx}\,dx = -\frac{1}{k}e^{-kx} + C$
- **Método:** Substituição $u = -x$, $du = -dx$

## Pontos principais

- A integral de $e^{-x}$ é $-e^{-x} + C$. O sinal de menos vem da derivada interna $-1$.
- A área total sob $e^{-x}$ de $0$ a $\infty$ é exatamente $1$.
- Em geral, $\int_0^\infty e^{-kx}\,dx = \frac{1}{k}$ para $k > 0$, e é por isso que $ke^{-kx}$ é uma densidade de probabilidade.
- $\int x e^{-x}\,dx = -(x+1)e^{-x} + C$, por integração por partes.

A **integral de $e^{-x}$ é $-e^{-x} + C$**. A única mudança em relação à [integral de eˣ](/integrals/e-to-the-x) é o sinal de menos, que vem do $-1$ no expoente.

$$\int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C$$

## Gráfico de e⁻ˣ e sua área

```graph
title: 'y = e^(−x) com a área de 0 a 4 sombreada'
caption: 'A área sombreada é $1 - e^{-4} \approx 0.982$. Se você continuar até o infinito, a área se aproxima de exatamente $1$.'
x: [-1, 6]
y: [-0.5, 2.5]
functions:
  - expr: e^(-x)
    label: y = e^(−x)
shade:
  expr: e^(-x)
  from: 0
  to: 4
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
```

$e^{-x}$ é um decaimento exponencial: começa em $1$ quando $x = 0$ e perde a mesma fração de sua altura a cada passo de uma unidade. Esse encolhimento constante é o que faz a cauda infinita somar uma área finita.

## Como integrar e⁻ˣ passo a passo

1. Seja $u = -x$. Então $du = -dx$, logo $dx = -du$.
2. Reescreva: $\displaystyle\int e^{-x}\,dx = -\int e^u\,du$.
3. Integre: $-e^u + C$.
4. Volte à variável original: $-e^{-x} + C$.

Esse é o caso $k = -1$ da regra $\int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$ da página da [integral de e²ˣ](/integrals/e-to-the-2x). Para taxas de decaimento $k > 0$:

$$\int e^{-kx}\,dx = -\frac{1}{k}e^{-kx} + C$$

## Verificação por derivação

$$\frac{d}{dx}\left(-e^{-x}\right) = -e^{-x}\cdot(-1) = e^{-x}$$

Os dois sinais de menos se cancelam. Veja a [derivada de e⁻ˣ](/derivatives/e-to-the-negative-x).

## Integrais definidas e impróprias

**De 0 a 1:** $\left[-e^{-x}\right]_0^1 = -e^{-1} + 1 = 1 - \frac{1}{e} \approx 0.632$.

**De 0 a ∞:** essa é uma [integral imprópria](/blog/improper-integrals), então calcule um limite:

$$\int_0^\infty e^{-x}\,dx = \lim_{b\to\infty}\left(1 - e^{-b}\right) = 1$$

**Uma taxa de decaimento k.** $\int_0^\infty e^{-kx}\,dx = \frac{1}{k}$ para $k > 0$. Multiplicando por $k$, obtemos $\int_0^\infty ke^{-kx}\,dx = 1$, a probabilidade total da distribuição exponencial usada para tempos de espera.

**Verificação da meia-vida.** $\int_0^{\ln 2} e^{-x}\,dx = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Metade da área total fica antes de $x = \ln 2 \approx 0.693$.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: expoente multiplicado.** $\displaystyle\int e^{-x/3}\,dx = -3e^{-x/3} + C$.

**Exemplo 2: x vezes e⁻ˣ.** Use [integração por partes](/rules/integration-by-parts-rule) com $u = x$ e $dv = e^{-x}\,dx$, então $du = dx$ e $v = -e^{-x}$:

$$\int xe^{-x}\,dx = -xe^{-x} + \int e^{-x}\,dx = -xe^{-x} - e^{-x} + C = -(x+1)e^{-x} + C$$

De $0$ a $\infty$ isso vale $0 - (-1) = 1$, porque $xe^{-x} \to 0$ quando $x \to \infty$.

**Exemplo 3: medicamento na corrente sanguínea.** Um medicamento sai do corpo a uma taxa de $40e^{-0.5t}$ mg por hora. A quantidade eliminada nas primeiras 4 horas é

$$\int_0^4 40e^{-0.5t}\,dt = -80\left(e^{-2} - 1\right) = 80\left(1 - e^{-2}\right) \approx 69.2 \text{ mg}$$

**Exemplo 4: funções hiperbólicas.** $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$, então

$$\int\cosh x\,dx = \frac{e^x - e^{-x}}{2} + C = \sinh x + C$$

## Erros comuns

1. **Esquecer o sinal de menos.** $\int e^{-x}\,dx$ não é $e^{-x} + C$. Derive sua resposta: você deve obter $+e^{-x}$.
2. **Escrever $\frac{e^{-x+1}}{-x+1}$.** Isso é a regra da potência aplicada a uma exponencial, o que nunca vale.
3. **Achar que a integral imprópria diverge.** O intervalo é infinito, mas a área é $1$. Use um limite, não pare no "infinito".
4. **Confundir $e^{-x}$ com $e^{-x^2}$.** A curva de sino $e^{-x^2}$ não tem primitiva elementar; veja a [integral de e^(x²)](/integrals/e-to-the-x-squared).

Para mais sobre produtos como $xe^{-x}$, veja a [integral de x eˣ](/integrals/x-e-to-the-x).

## Perguntas frequentes

### Qual é a integral de e^(−x)?

É $-e^{-x} + C$.

### Qual é a integral de e^(−x) de 0 ao infinito?

É $1$. A primitiva $-e^{-x}$ vai de $-1$ em $x = 0$ até $0$ quando $x \to \infty$, então a integral é $0 - (-1) = 1$.

### Qual é a integral de x e^(−x)?

É $-(x+1)e^{-x} + C$. Use partes com $u = x$ e $dv = e^{-x}\,dx$. De $0$ a $\infty$ ela vale $1$.

### Por que há um sinal de menos na integral de e^(−x)?

Porque a derivada de $-e^{-x}$ é $-e^{-x}\cdot(-1) = e^{-x}$. Sem o sinal de menos, a regra da cadeia deixaria você com $-e^{-x}$.