# Integral de eˣ sen x: fórmula, passo a passo e exemplos

> A integral de eˣ sen x é ½eˣ(sen x − cos x) + C. Aprenda o truque de integrar duas vezes e isolar, a verificação, um gráfico e a fórmula de e^(ax) sen(bx).

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/integrais/integral-de-e-elevado-a-x-sen-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \int e^x\sin x\,dx = \frac{e^x}{2}\left(\sin x - \cos x\right) + C $$

## Visão geral

- **Primitiva:** $\frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C$
- **Método:** Integração por partes duas vezes e depois isolar a integral
- **Parceira:** $\int e^x\cos x\,dx = \frac{1}{2}e^x(\sin x + \cos x) + C$
- **Forma geral:** $\int e^{ax}\sin bx\,dx = \frac{e^{ax}(a\sin bx - b\cos bx)}{a^2 + b^2} + C$
- **De 0 a π:** $\frac{e^\pi + 1}{2} \approx 12.07$

## Pontos principais

- A integral de $e^x\sin x$ é $\frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C$.
- Integre por partes duas vezes. A integral original volta, e você a isola como uma incógnita numa equação.
- Mantenha o mesmo tipo de função como $u$ nas duas vezes (por exemplo, a exponencial), senão o segundo passo desfaz o primeiro.
- Em geral, $\int e^{ax}\sin bx\,dx = \frac{e^{ax}(a\sin bx - b\cos bx)}{a^2+b^2} + C$.

A **integral de $e^x\sin x$ é $\dfrac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C$**. É a famosa integral "em ciclo": a integração por partes nunca termina sozinha, mas depois de dois passos dá para isolar a resposta com álgebra.

$$\int e^x\sin x\,dx = \frac{e^x}{2}\left(\sin x - \cos x\right) + C$$

## Gráfico de eˣ sen x

```graph
title: 'y = eˣ sen x com a área de 0 a π sombreada'
caption: 'A área sombreada é $\frac{e^\pi + 1}{2} \approx 12.07$. A curva oscila como $\sin x$, mas as oscilações crescem por causa do fator $e^x$.'
x: [-3, 4]
y: [-3, 8]
functions:
  - expr: exp(x)*sin(x)
    label: y = eˣ sen x
shade:
  expr: exp(x)*sin(x)
  from: 0
  to: 3.14159
points:
  - [2.35619, 7.4605, 'máx. em x = 3π/4']
```

## Como integrar eˣ sen x passo a passo

Chame a integral de $I$. Use a [integração por partes](/rules/integration-by-parts-rule) com a função trigonométrica como $u$ nas duas vezes.

1. **Primeira passada.** $u = \sin x$, $dv = e^x\,dx$, então $du = \cos x\,dx$ e $v = e^x$:
$$I = e^x\sin x - \int e^x\cos x\,dx$$
2. **Segunda passada**, em $\int e^x\cos x\,dx$. De novo a função trigonométrica é o $u$: $u = \cos x$, $dv = e^x\,dx$, então $du = -\sin x\,dx$, $v = e^x$:
$$\int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + \int e^x\sin x\,dx = e^x\cos x + I$$
3. **Substitua de volta.** A integral original reapareceu:
$$I = e^x\sin x - e^x\cos x - I$$
4. **Isole $I$.** Some $I$ aos dois lados: $2I = e^x(\sin x - \cos x)$, então
$$I = \frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x) + C$$

O $+ C$ entra no final, depois de isolar. Também funciona com $u = e^x$ nas duas vezes. O que falha é trocar: se você toma $u = \sin x$ na primeira e $u = e^x$ na segunda, o segundo passo desfaz o primeiro e você obtém $I = I$.

## Verificação por derivação

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x)\right] = \frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x) + \frac{e^x}{2}(\cos x + \sin x) = \frac{e^x}{2}\cdot 2\sin x = e^x\sin x$$

## A fórmula geral

O mesmo ciclo de dois passos para $e^{ax}\sin bx$ e $e^{ax}\cos bx$ dá

$$\int e^{ax}\sin bx\,dx = \frac{e^{ax}(a\sin bx - b\cos bx)}{a^2 + b^2} + C$$

$$\int e^{ax}\cos bx\,dx = \frac{e^{ax}(a\cos bx + b\sin bx)}{a^2 + b^2} + C$$

Com $a = b = 1$ o denominador é $2$, o que confere com o resultado acima.

**Um caminho mais rápido com números complexos.** Como $e^{ix} = \cos x + i\sin x$, $e^x\sin x$ é a parte imaginária de $e^{(1+i)x}$. Integrando, obtemos $\frac{e^{(1+i)x}}{1+i} = \frac{(1-i)}{2}e^x(\cos x + i\sin x)$, cuja parte imaginária é $\frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x)$.

## Integrais definidas

**De 0 a π:**

$$\left[\frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x)\right]_0^\pi = \frac{e^\pi}{2}(0 + 1) - \frac{1}{2}(0 - 1) = \frac{e^\pi + 1}{2} \approx 12.07$$

**De 0 a π/2:** $\frac{e^{\pi/2}}{2}(1 - 0) - \frac{1}{2}(0 - 1) = \frac{e^{\pi/2} + 1}{2} \approx 2.905$.

**Versão amortecida.** $\int_0^\infty e^{-x}\sin x\,dx$. Use a fórmula com $a = -1$, $b = 1$: a primitiva é $\frac{e^{-x}(-\sin x - \cos x)}{2}$, que tende a $0$ no infinito. Então o valor é $0 - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: eˣ cos x.** Pelo passo 2 acima, $\int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + I$. Substitua $I$:

$$\int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + \frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x) = \frac{e^x}{2}(\sin x + \cos x) + C$$

**Exemplo 2: taxas diferentes.** $\int e^{2x}\sin 3x\,dx = \frac{e^{2x}(2\sin 3x - 3\cos 3x)}{13} + C$, usando $a^2 + b^2 = 4 + 9 = 13$.

**Exemplo 3: vibração amortecida.** O deslocamento de uma mola é $e^{-t}\cos t$. Seu deslocamento total com sinal em $[0, \infty)$ é $\int_0^\infty e^{-t}\cos t\,dt = \frac{1}{2}$, pela fórmula do cosseno com $a = -1$, $b = 1$: a primitiva $\frac{e^{-t}(\sin t - \cos t)}{2}$ vai de $-\frac{1}{2}$ a $0$.

## Erros comuns

1. **Trocar a escolha de $u$** entre as duas passadas. Você termina com $I = I$, o que é verdade mas inútil.
2. **Esquecer de dividir por 2.** Depois do passo 3 você tem $2I$, e não $I$.
3. **Erros de sinal na segunda passada.** $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$, então a segunda integral é somada, e não subtraída.
4. **Esperar que as partes terminem.** Com $x\sin x$ a potência de $x$ desaparece; com $e^x\sin x$ nada desaparece, então você precisa do ciclo. Compare com a [integral de x sen x](/integrals/x-sin-x).

A lição de [partes repetidas e LIATE](/learn/calculus-2/integration-techniques/repeated-parts-and-liate) pratica esse ciclo, e o [guia de integração por partes](/blog/integration-by-parts) traz mais exemplos.

## Perguntas frequentes

### Qual é a integral de eˣ sen x?

É $\frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C$.

### Qual é a integral de eˣ cos x?

É $\frac{1}{2}e^x(\sin x + \cos x) + C$. O mesmo método de dois passos funciona, com o sinal do termo em cosseno trocado.

### Por que a integração por partes não termina em eˣ sen x?

Nem $e^x$ nem $\sin x$ ficam mais simples quando derivadas, então as partes ficam girando em círculo. Depois de dois passos a integral original reaparece, e você resolve a equação $I = \text{termos} - I$ para $I$.

### Qual é a integral de e^(2x) sen(3x)?

É $\frac{e^{2x}(2\sin 3x - 3\cos 3x)}{13} + C$, pela fórmula geral com $a = 2$ e $b = 3$.