# Integral de e^(x²): por que não existe uma fórmula simples

> e^(x²) e e^(−x²) não têm primitiva elementar. Conheça as funções erf e erfi, a resposta em série de potências e por que ∫e^(−x²) em ℝ vale √π.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/integrais/integral-de-e-elevado-a-x2
Atualizado: 2026-11-06

$$ \int e^{-x^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erf}(x) + C $$

## Visão geral

- **Primitiva:** Não elementar. $\int e^{x^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erfi}(x) + C$
- **Versão da curva de sino:** $\int e^{-x^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(x) + C$
- **Integral de Gauss:** $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}$
- **Forma em série:** $\int e^{x^2}\,dx = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{n!\,(2n+1)} + C$
- **De 0 a 1:** $\int_0^1 e^{x^2}\,dx \approx 1.4627$ e $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx \approx 0.7468$

## Pontos principais

- Nem $e^{x^2}$ nem $e^{-x^2}$ têm uma primitiva formada por funções comuns. Isso é um fato demonstrado, e não uma falta de técnica.
- Os matemáticos dão nome às primitivas: $\int e^{-x^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(x) + C$ e $\int e^{x^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erfi}(x) + C$.
- Sempre dá para escrever a primitiva como série de potências, integrando a série de Maclaurin termo a termo.
- A integral de Gauss $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}$ é calculada com coordenadas polares, e não com uma primitiva.

**$e^{x^2}$ não tem primitiva elementar**, e a curva de sino $e^{-x^2}$ também não. Nenhuma fórmula construída com potências, raízes, exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas tem qualquer uma delas como derivada. As primitivas existem mesmo assim, e têm nome:

$$\int e^{-x^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erf}(x) + C \qquad \int e^{x^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erfi}(x) + C$$

E uma integral definida famosa tem valor exato:

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}$$

## Gráfico de e^(x²) e e^(−x²)

```graph
title: 'y = e^(x²) e a curva de sino y = e^(−x²)'
caption: 'A área sombreada total sob a curva de sino, na reta real inteira, é $\sqrt{\pi} \approx 1.772$. A área sob $e^{x^2}$ na reta inteira é infinita.'
x: [-3, 3]
y: [-0.5, 4]
functions:
  - expr: exp(-x^2)
    label: y = e^(−x²)
  - expr: exp(x^2)
    label: y = e^(x²)
    dashed: true
    domain: [-1.17, 1.17]
shade:
  expr: exp(-x^2)
  from: -3
  to: 3
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
```

## Por que os métodos usuais falham

- **Substituição.** $u = x^2$ exige $du = 2x\,dx$, e não há nenhum $x$ para fornecê-lo. Compare com $\int xe^{x^2}\,dx = \frac{1}{2}e^{x^2} + C$, que funciona.
- **Dividir pela derivada de dentro.** Esse atalho só vale quando a inclinação de dentro é constante, como na [integral de e²ˣ](/integrals/e-to-the-2x). Aqui a inclinação $2x$ varia.
- **Integração por partes.** Toda escolha de $u$ e $dv$ leva a uma integral mais difícil.

Não é falta de sorte. Joseph Liouville demonstrou, na década de 1830, que $\int e^{x^2}\,dx$ não pode ser escrita em termos elementares. Outras funções da mesma família incluem $\frac{\sin x}{x}$ e $\frac{1}{\ln x}$.

## A função erro

Como a primitiva existe mas não tem fórmula, ela ganha um nome próprio. A **função erro** é

$$\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}\,dt$$

O fator $\frac{2}{\sqrt{\pi}}$ é escolhido para que $\operatorname{erf}(x) \to 1$ quando $x \to \infty$. Pelo [Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-1), sua derivada é $\frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}$, o que dá a fórmula acima. A **função erro imaginária** $\operatorname{erfi}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{t^2}\,dt$ cumpre o mesmo papel para $e^{x^2}$.

A função erro está em toda parte na estatística, já que a distribuição normal é uma cópia esticada de $e^{-x^2}$. A função de distribuição normal da sua calculadora está calculando erf nos bastidores.

## A resposta em série de potências

Sempre dá para obter uma primitiva como série. Parta de $e^u = \sum_{n=0}^\infty \frac{u^n}{n!}$ com $u = x^2$ e integre termo a termo:

$$\int e^{x^2}\,dx = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{n!\,(2n+1)} + C = x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} + \frac{x^7}{42} + \cdots + C$$

A série converge para todo $x$. Para $e^{-x^2}$ os sinais se alternam: $x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} - \frac{x^7}{42} + \cdots$

**Verificação por derivação.** A derivada de $\frac{x^{2n+1}}{n!(2n+1)}$ é $\frac{x^{2n}}{n!} = \frac{(x^2)^n}{n!}$, e a soma desses termos é $e^{x^2}$.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: uma integral definida por série.** Coloque $x = 1$ na série:

$$\int_0^1 e^{x^2}\,dx = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{10} + \frac{1}{42} + \frac{1}{216} + \cdots \approx 1.4627$$

**Exemplo 2: a curva de sino de 0 a 1.** A série alternada dá

$$\int_0^1 e^{-x^2}\,dx = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{10} - \frac{1}{42} + \frac{1}{216} - \cdots \approx 0.7468$$

Como a série é alternada, o erro ao parar é menor que o primeiro termo deixado de fora.

**Exemplo 3: a integral de Gauss.** Chame $I = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx$. Multiplique duas cópias, uma em $x$ e outra em $y$, e passe para coordenadas polares, em que $dx\,dy = r\,dr\,d\theta$:

$$I^2 = \iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\infty e^{-r^2}\,r\,dr\,d\theta = 2\pi\cdot\frac{1}{2} = \pi$$

O $r$ extra é exatamente o fator que faz $u = r^2$ funcionar. Então $I = \sqrt{\pi}$. A lição sobre [integrais duplas em coordenadas polares](/learn/calculus-3/multiple-integrals/polar-double-integrals) trata da mudança de coordenadas.

**Exemplo 4: uma curva de sino ajustada.** Com $x = \frac{t}{\sqrt{a}}$, $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\,dt = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$ para $a > 0$.

## Erros comuns

1. **Escrever $\frac{e^{x^2}}{2x} + C$.** Derive e você verá que não funciona.
2. **Supor que toda integral tem fórmula.** Algumas não têm. Numa prova, uma integral definida de $e^{x^2}$ geralmente significa "use uma série" ou "use a calculadora".
3. **Confundir $e^{x^2}$ com $(e^x)^2$.** $(e^x)^2 = e^{2x}$, cuja integral é $\frac{1}{2}e^{2x}$. Já $e^{x^2}$ significa $e$ elevado a $x^2$.
4. **Esquecer o teste do $x$.** Se o integrando for $xe^{x^2}$ ou $xe^{-x^2}$, uma substituição simples funciona.

Para técnicas com séries, veja o [guia de séries de Taylor](/blog/taylor-series). Para as exponenciais mais simples, veja a [integral de eˣ](/integrals/e-to-the-x) e a [integral de e⁻ˣ](/integrals/e-to-the-negative-x).

## Perguntas frequentes

### Qual é a integral de e^(x²)?

Ela não tem primitiva elementar. Pode ser escrita como $\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erfi}(x) + C$, em que erfi é a função erro imaginária, ou como a série $\sum_{n\ge 0}\frac{x^{2n+1}}{n!(2n+1)} + C$.

### Por que não dá para integrar e^(x²)?

Um teorema de Liouville mostra que nenhuma combinação de polinômios, exponenciais, logaritmos, funções trigonométricas e raízes tem derivada $e^{x^2}$. A primitiva existe, só não é uma das funções usuais.

### Qual é a integral de e^(−x²) de menos infinito a infinito?

É $\sqrt{\pi} \approx 1.772$. Eleve a integral ao quadrado, passe para coordenadas polares, e o fator extra $r$ torna a integral fácil.

### A integral de e^(x²) é e^(x²)/(2x)?

Não. Derivar $\frac{e^{x^2}}{2x}$ pela regra do quociente dá $e^{x^2} - \frac{e^{x^2}}{2x^2}$, e não $e^{x^2}$. Só se pode dividir por uma constante.

### Qual é a integral de x e^(x²)?

É $\frac{1}{2}e^{x^2} + C$. Com um $x$ na frente, $u = x^2$ funciona porque $du = 2x\,dx$ está presente.