# Integral de ln x: fórmula, passo a passo e exemplos

> A integral de ln x é x ln x − x + C. Veja a integração por partes passo a passo, a verificação por derivação, um gráfico e exemplos como ln(2x) e (ln x)².

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/integrais/integral-de-ln-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \int \ln x\,dx = x\ln x - x + C $$

## Visão geral

- **Primitiva:** $x\ln x - x + C$
- **Método:** Integração por partes com $u = \ln x$, $dv = dx$
- **De 1 a e:** $1$
- **De 0 a 1:** $-1$ (imprópria, converge)
- **Logaritmo na base b:** $\int \log_b x\,dx = \frac{x\ln x - x}{\ln b} + C$

## Pontos principais

- A integral de $\ln x$ é $x\ln x - x + C$, que também pode ser escrita $x(\ln x - 1) + C$.
- Use integração por partes com $u = \ln x$ e $dv = dx$. A integral que sobra é só $\int 1\,dx$.
- A resposta não é $\frac{1}{x}$. Essa é a derivada de $\ln x$.
- Repetir o truque resolve $(\ln x)^2$, $(\ln x)^3$ e assim por diante.

A **integral de $\ln x$ é $x\ln x - x + C$**. Não existe uma regra inversa que desfaça o logaritmo diretamente, então o método padrão é a integração por partes com um fator $1$ escondido.

$$\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C$$

## Gráfico de ln x e de sua primitiva

```graph
title: 'y = ln x e sua primitiva x ln x − x'
caption: 'A área sombreada de $1$ a $e$ é exatamente $1$. A primitiva tracejada tem mínimo em $x = 1$, onde $\ln x$ passa de negativo para positivo.'
x: [-0.5, 5]
y: [-2.5, 3.5]
functions:
  - expr: ln(x)
    label: y = ln x
    domain: [0.05, 5]
  - expr: x*ln(x) - x
    label: y = x ln x − x (primitiva)
    dashed: true
    domain: [0.01, 5]
shade:
  expr: ln(x)
  from: 1
  to: 2.71828
points:
  - [1, 0, '(1, 0)']
  - [1, -1, '(1, −1)']
```

## Como integrar ln x passo a passo

Use a [integração por partes](/rules/integration-by-parts-rule), $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.

1. **Escreva $\ln x$ como um produto.** $\int\ln x\,dx = \int \ln x\cdot 1\,dx$.
2. **Escolha as partes.** $u = \ln x$ e $dv = dx$. Então $du = \frac{1}{x}\,dx$ e $v = x$.
3. **Aplique a fórmula.**
$$\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx$$
4. **Termine.** $\int 1\,dx = x$, então a resposta é $x\ln x - x + C$.

Por que isso funciona? Derivar $\ln x$ o transforma em $\frac{1}{x}$, que cancela o $x$ de $v$. Na ordem LIATE, os logaritmos vêm primeiro, então quase sempre fazem o papel de $u$. O [guia de integração por partes](/blog/integration-by-parts) traz mais sobre a escolha de $u$.

## Verificação por derivação

Pela [regra do produto](/rules/product-rule) e pela [derivada de ln x](/derivatives/ln-x):

$$\frac{d}{dx}\left(x\ln x - x\right) = \ln x + x\cdot\frac{1}{x} - 1 = \ln x + 1 - 1 = \ln x$$

## Integrais definidas

**De 1 a e:**

$$\int_1^e\ln x\,dx = (e\cdot 1 - e) - (1\cdot 0 - 1) = 0 + 1 = 1$$

**De 1 a 2:** $(2\ln 2 - 2) - (0 - 1) = 2\ln 2 - 1 \approx 0.386$.

**De 0 a 1:** essa é uma [integral imprópria](/blog/improper-integrals), já que $\ln x \to -\infty$ perto de $0$. Usando o limite $x\ln x \to 0$ quando $x \to 0^+$:

$$\int_0^1 \ln x\,dx = (0 - 1) - \lim_{a\to 0^+}(a\ln a - a) = -1$$

A resposta é negativa porque $\ln x < 0$ em $(0, 1)$, então a área fica abaixo do eixo.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: uma constante dentro.** $\int\ln(2x)\,dx$. Seja $u = 2x$, $dx = \frac{du}{2}$:

$$\frac{1}{2}(u\ln u - u) + C = x\ln(2x) - x + C$$

**Exemplo 2: um logaritmo deslocado.** $\int\ln(x+1)\,dx$. Seja $u = x + 1$, $du = dx$:

$$(x+1)\ln(x+1) - (x+1) + C$$

O $-1$ pode ser absorvido pelo $C$, então $(x+1)\ln(x+1) - x + C$ também está certo.

**Exemplo 3: logaritmo ao quadrado.** $\int(\ln x)^2\,dx$. Tome $u = (\ln x)^2$, $dv = dx$, então $du = \frac{2\ln x}{x}\,dx$ e $v = x$:

$$\int(\ln x)^2\,dx = x(\ln x)^2 - 2\int\ln x\,dx = x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x + C$$

**Exemplo 4: uma potência de x dentro.** $\int\ln(x^3)\,dx = 3\int\ln x\,dx = 3x\ln x - 3x + C$, depois da propriedade $\ln(x^3) = 3\ln x$.

**Exemplo 5: base 10.** Como $\log_{10}x = \frac{\ln x}{\ln 10}$, $\int\log_{10}x\,dx = \frac{x\ln x - x}{\ln 10} + C$.

## Erros comuns

1. **Responder $\frac{1}{x}$.** Essa é a derivada de $\ln x$. A integral de $\frac{1}{x}$ é $\ln\lvert x\rvert$; veja a [integral de 1/x](/integrals/1-over-x).
2. **Escolher $u = 1$, $dv = \ln x\,dx$.** Aí você precisa de $\int\ln x\,dx$ para achar $v$, justamente o que está tentando calcular.
3. **Perder o $-x$.** $x\ln x$ sozinho tem derivada $\ln x + 1$, um a mais.
4. **Confundir $\ln x$ com $\frac{\ln x}{x}$.** $\int\frac{\ln x}{x}\,dx = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$ é uma [substituição](/rules/u-substitution-rule), e não um problema de partes.

Para um logaritmo vezes uma potência de $x$, veja a [integral de x ln x](/integrals/x-ln-x). Para logaritmos no denominador, veja a [integral de 1/(x ln x)](/integrals/1-over-x-ln-x).

## Perguntas frequentes

### Qual é a integral de ln x?

É $x\ln x - x + C$, para $x > 0$.

### Qual é a integral de ln(2x)?

É $x\ln(2x) - x + C$. Como $\ln(2x) = \ln 2 + \ln x$, você também pode integrar as partes e obter $x\ln 2 + x\ln x - x + C$, que é a mesma coisa.

### Qual é a integral de (ln x)²?

É $x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x + C$. Use partes com $u = (\ln x)^2$, $dv = dx$, e depois a integral de $\ln x$ para a parte que sobra.

### Qual é a integral de ln x de 0 a 1?

É $-1$. Ela é imprópria porque $\ln x \to -\infty$ em $0$, mas $x\ln x \to 0$, então a integral é $(0 - 1) - 0 = -1$.