# Integral de √(1−x²): fórmula, passo a passo e exemplos

> A integral de √(1−x²) é ½(x√(1−x²) + arcsen x) + C. Aprenda a substituição trigonométrica, a ligação com a área do círculo e exemplos resolvidos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/integrais/integral-de-raiz-de-1-menos-x2
Atualizado: 2026-11-06

$$ \int \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{1}{2}\left(x\sqrt{1-x^2} + \arcsin x\right) + C $$

## Visão geral

- **Primitiva:** $\frac{1}{2}\left(x\sqrt{1-x^2} + \arcsin x\right) + C$
- **Forma geral:** $\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C$
- **Método:** Substituição trigonométrica $x = \sin\theta$, depois $\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$
- **De −1 a 1:** $\dfrac{\pi}{2}$, a área de meio círculo unitário
- **De 0 a 1:** $\dfrac{\pi}{4}$, um quarto de círculo

## Pontos principais

- A integral de $\sqrt{1-x^2}$ é $\frac{1}{2}\left(x\sqrt{1-x^2} + \arcsin x\right) + C$.
- O gráfico de $y = \sqrt{1-x^2}$ é a metade de cima do círculo unitário, então $\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{\pi}{2}$.
- O método é a substituição trigonométrica: $x = \sin\theta$ transforma a raiz em $\cos\theta$ e a integral em $\int\cos^2\theta\,d\theta$.
- Para um raio $a$, $\int_{-a}^{a}\sqrt{a^2-x^2}\,dx = \frac{\pi a^2}{2}$, metade da área de um círculo.

A **integral de $\sqrt{1-x^2}$ é $\dfrac{1}{2}\left(x\sqrt{1-x^2} + \arcsin x\right) + C$**. É o primeiro exemplo clássico de substituição trigonométrica, e é assim que o cálculo demonstra a área do círculo.

$$\int \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\arcsin x + C$$

Para um círculo de raio $a$:

$$\int \sqrt{a^2-x^2}\,dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C$$

## Gráfico: metade do círculo unitário

```graph
title: 'y = √(1−x²) é a metade de cima do círculo unitário'
caption: 'A área sombreada de $-1$ a $1$ é metade de um círculo de raio 1, então vale $\frac{\pi}{2} \approx 1.571$.'
x: [-1.6, 1.6]
y: [-0.6, 1.4]
functions:
  - expr: sqrt(1-x^2)
    label: y = √(1−x²)
    domain: [-1, 1]
shade:
  expr: sqrt(1-x^2)
  from: -1
  to: 1
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [-1, 0, '(−1, 0)']
  - [1, 0, '(1, 0)']
```

## Como integrar √(1−x²) passo a passo

1. **Substitua.** Seja $x = \sin\theta$ com $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$. Então $dx = \cos\theta\,d\theta$ e $\sqrt{1-\sin^2\theta} = \cos\theta$, que não é negativo nesse intervalo.
2. **Reescreva.**
$$\int \sqrt{1-x^2}\,dx = \int \cos\theta\cdot\cos\theta\,d\theta = \int \cos^2\theta\,d\theta$$
3. **Use a identidade do arco metade** $\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$, como na página da [integral de cos²x](/integrals/cos-squared-x):
$$\int \cos^2\theta\,d\theta = \frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2\theta}{4} + C = \frac{\theta}{2} + \frac{\sin\theta\cos\theta}{2} + C$$
4. **Volte para $x$.** $\theta = \arcsin x$, $\sin\theta = x$ e $\cos\theta = \sqrt{1-x^2}$:
$$\frac{1}{2}\arcsin x + \frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2} + C$$

A versão geral usa $x = a\sin\theta$ do mesmo jeito. O [guia de substituição trigonométrica](/blog/trig-substitution) trata dos outros dois formatos de raiz, $\sqrt{a^2+x^2}$ e $\sqrt{x^2-a^2}$.

## Verificação por derivação

Derive cada parte. Pela [regra do produto](/rules/product-rule):

$$\frac{d}{dx}\left(x\sqrt{1-x^2}\right) = \sqrt{1-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$$

e $\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$. Somando:

$$\sqrt{1-x^2} + \frac{1 - x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-x^2} = 2\sqrt{1-x^2}$$

Metade disso é $\sqrt{1-x^2}$, como deveria ser.

## Integrais definidas e a área do círculo

No intervalo inteiro, o termo com raiz se anula nas duas extremidades:

$$\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{1}{2}\left(\arcsin 1 - \arcsin(-1)\right) = \frac{1}{2}\cdot\pi = \frac{\pi}{2}$$

Dobrando para incluir a metade de baixo, obtemos a área do círculo unitário, $\pi$. Com raio $a$, os mesmos passos dão $\int_{-a}^{a}\sqrt{a^2-x^2}\,dx = \frac{\pi a^2}{2}$, então um círculo inteiro tem área $\pi a^2$.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: parte de um círculo.** Calcule $\int_0^{1/2}\sqrt{1-x^2}\,dx$.

$$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{\pi}{12} \approx 0.478$$

A figura: um setor de $30^\circ$ de área $\frac{\pi}{12}$ mais um triângulo de área $\frac{\sqrt{3}}{8}$.

**Exemplo 2: raio 3.** $\int_{-3}^{3}\sqrt{9-x^2}\,dx = \frac{9\pi}{2}$, metade de um círculo de raio 3. Depois de enxergar a forma, não é preciso calcular nenhuma primitiva.

**Exemplo 3: uma primitiva geral.** Com $a = 2$:

$$\int \sqrt{4-x^2}\,dx = \frac{x}{2}\sqrt{4-x^2} + 2\arcsin\frac{x}{2} + C$$

**Exemplo 4: círculo deslocado.** $\int_0^2\sqrt{2x - x^2}\,dx$. Complete o quadrado: $2x - x^2 = 1 - (x-1)^2$. É o semicírculo unitário centrado em $x = 1$, então a resposta é $\frac{\pi}{2}$.

## Erros comuns

1. **Tentar $u = 1 - x^2$.** Seria preciso um $x\,dx$ para casar com $du$, e ele não existe.
2. **Esquecer de voltar à variável original.** Uma resposta em $\theta$ não está terminada. Use um triângulo retângulo com cateto oposto $x$ e hipotenusa $1$ para ler $\cos\theta = \sqrt{1-x^2}$.
3. **Esquecer o $\frac{a^2}{2}$.** Na fórmula geral, o termo com arcsen leva $\frac{a^2}{2}$, e não $\frac{1}{2}$.
4. **Confundir com $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.** Essa integra direto para $\arcsin x$; veja a [integral de 1/√(1−x²)](/integrals/1-over-sqrt-1-minus-x-squared).

## Perguntas frequentes

### Qual é a integral de √(1−x²)?

É $\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\arcsin x + C$, válida para $-1 \le x \le 1$.

### Qual é a integral de √(a²−x²)?

É $\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C$. Para $a = 2$ isso dá $\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2} + 2\arcsin\frac{x}{2} + C$.

### Por que a integral de √(1−x²) de −1 a 1 é igual a π/2?

Porque $y = \sqrt{1-x^2}$ descreve a metade de cima da circunferência $x^2 + y^2 = 1$. A área sob ela é metade de $\pi r^2$ com $r = 1$, ou seja, $\frac{\pi}{2}$.

### Dá para integrar √(1−x²) por substituição simples?

Não. Não há um $x$ fora da raiz para fornecer o $du$. A substituição simples $u = 1 - x^2$ falha, e é por isso que se precisa da substituição trigonométrica.