# Integral de √x (raiz de x): fórmula, dedução e exemplos

> A integral de √x é (2/3)x^(3/2) + C. Reescreva a raiz como potência, confira derivando e veja √(ax + b), 1/√x e exemplos de integrais definidas.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/integrais/integral-de-raiz-de-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \int \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C $$

## Visão geral

- **Primitiva:** $\dfrac{2}{3}x^{3/2} + C = \dfrac{2}{3}x\sqrt{x} + C$
- **Reescreva antes:** $\sqrt{x} = x^{1/2}$
- **Domínio:** $x \ge 0$
- **Integral relacionada:** $\int \dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx = 2\sqrt{x} + C$
- **Verificação:** $\dfrac{d}{dx}\dfrac{2}{3}x^{3/2} = x^{1/2}$

## Pontos principais

- A integral de $\sqrt{x}$ é $\frac{2}{3}x^{3/2} + C$.
- Sempre reescreva raízes como potências fracionárias, $\sqrt{x} = x^{1/2}$, antes de usar a regra da potência inversa.
- Dividir por $\frac{3}{2}$ é o mesmo que multiplicar por $\frac{2}{3}$.
- A integral de $\frac{1}{\sqrt{x}}$ é $2\sqrt{x} + C$, um resultado que vale a pena memorizar.

A **integral de $\sqrt{x}$ é $\dfrac{2}{3}x^{3/2} + C$**. O truque é escrever a raiz quadrada como potência primeiro.

$$\int \sqrt{x}\,dx = \int x^{1/2}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$$

## Gráfico de √x e a área sob ele

```graph
title: 'Área sob y = √x de 0 a 4, com a primitiva y = (2/3)x^(3/2)'
caption: 'A área sombreada é $\frac{16}{3} \approx 5.33$. A primitiva tracejada chega a $\frac{16}{3}$ em $x = 4$.'
x: [-0.5, 5]
y: [-0.5, 7.5]
functions:
  - expr: sqrt(x)
    label: y = √x
    domain: [0, 5]
  - expr: (2/3)x^(3/2)
    label: y = (2/3)x^(3/2) (primitiva)
    dashed: true
    domain: [0, 5]
shade: {expr: sqrt(x), from: 0, to: 4}
points:
  - [4, 5.333, '(4, 16/3)']
```

A região sombreada cabe dentro de um retângulo de $4$ por $2$, de área $8$. Ela ocupa exatamente dois terços dele, e é daí que vem o $\frac{2}{3}$.

## Dedução, passo a passo

1. Reescreva a raiz: $\sqrt{x} = x^{1/2}$.
2. Use a [regra da potência inversa](/rules/reverse-power-rule) com $n = \frac{1}{2}$.
3. Some um ao expoente: $\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$.
4. Divida por $\frac{3}{2}$, ou seja, multiplique por $\frac{2}{3}$: $\frac{2}{3}x^{3/2}$.
5. Some $C$.

## Uma segunda dedução: área fatiando na horizontal

Existe um jeito elegante de ver o $\frac{2}{3}$ sem nenhuma regra. A curva $y = \sqrt{x}$ é a mesma que $x = y^2$ para $y \ge 0$. Desenhe o retângulo de $(0, 0)$ a $(b, \sqrt{b})$. A curva o divide em duas partes. A parte entre a curva e o eixo $y$ é a área sob $x = y^2$ de $y = 0$ a $y = \sqrt{b}$, que vale $\frac{(\sqrt{b})^3}{3}$ pela [integral de x²](/integrals/x-squared). O retângulo inteiro mede $b\sqrt{b}$, então a área sob $\sqrt{x}$ é o que sobra:

$$b\sqrt{b} - \frac{b\sqrt{b}}{3} = \frac{2}{3}b^{3/2}$$

Isso confere com a fórmula. Também mostra por que as duas áreas ficam na razão $1 : 2$.

## Verificação por derivação

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{2}{3}x^{3/2}\right) = \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{1/2} = \sqrt{x} \checkmark$$

A regra no sentido direto está na página da [derivada de √x](/derivatives/sqrt-x).

## Outras raízes e potências de x

O mesmo método funciona para qualquer raiz. Reescreva, depois aumente o expoente e divida:

| Integrando | Como potência | Integral |
| --- | --- | --- |
| $\sqrt{x}$ | $x^{1/2}$ | $\frac{2}{3}x^{3/2} + C$ |
| $\frac{1}{\sqrt{x}}$ | $x^{-1/2}$ | $2x^{1/2} + C$ |
| $x\sqrt{x}$ | $x^{3/2}$ | $\frac{2}{5}x^{5/2} + C$ |
| $\sqrt[3]{x}$ | $x^{1/3}$ | $\frac{3}{4}x^{4/3} + C$ |
| $\frac{x + 1}{\sqrt{x}}$ | $x^{1/2} + x^{-1/2}$ | $\frac{2}{3}x^{3/2} + 2x^{1/2} + C$ |

## Variante por substituição: integral de √(ax + b)

Seja $u = ax + b$, então $du = a\,dx$:

$$\int \sqrt{ax + b}\,dx = \frac{1}{a}\int u^{1/2}\,du = \frac{2}{3a}(ax + b)^{3/2} + C$$

Por exemplo, $\int \sqrt{3x + 2}\,dx = \frac{2}{9}(3x + 2)^{3/2} + C$. Verificação: $\frac{2}{9}\cdot\frac{3}{2}(3x+2)^{1/2}\cdot 3 = \sqrt{3x + 2}$.

Um clássico: $\int x\sqrt{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{3}(x^2 + 1)^{3/2} + C$, com $u = x^2 + 1$.

## Exemplos de integrais definidas

**Exemplo 1.** $\int_1^9 \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}\left(9^{3/2} - 1^{3/2}\right) = \frac{2}{3}(27 - 1) = \frac{52}{3}$.

**Exemplo 2.** $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \Big[2\sqrt{x}\Big]_0^1 = 2$. Essa é uma integral imprópria, porque $\frac{1}{\sqrt{x}}$ explode em $0$, mas a área ainda é finita.

**Exemplo 3.** $\int_0^4 (\sqrt{x} - 1)\,dx = \frac{16}{3} - 4 = \frac{4}{3}$.

## Erros comuns

1. **Aplicar a regra da potência direto no símbolo de raiz.** Escreva $x^{1/2}$ primeiro.
2. **Dividir por $\frac{1}{2}$ em vez de $\frac{3}{2}$.** Divide-se pelo novo expoente, e não pelo antigo.
3. **Escrever $\frac{3}{2}x^{3/2}$.** Dividir por $\frac{3}{2}$ dá $\frac{2}{3}$, e não $\frac{3}{2}$.
4. **Integrar $\sqrt{x^2 + 1}$ como se fosse $\sqrt{x}$.** Com uma expressão não linear dentro e sem fator correspondente, a substituição não funciona. Essa integral precisa de [substituição trigonométrica](/blog/trig-substitution).

Pratique com os [exercícios de primitivas](/practice-problems/antiderivatives).

## Perguntas frequentes

### Qual é a integral de √x?

A integral de $\sqrt{x}$ é $\frac{2}{3}x^{3/2} + C$, que também pode ser escrita como $\frac{2}{3}x\sqrt{x} + C$.

### Qual é a integral de 1/√x?

É $2\sqrt{x} + C$. Escreva $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$, aumente o expoente para $\frac{1}{2}$ e divida por $\frac{1}{2}$.

### Qual é a integral de √x de 0 a 4?

É $\frac{2}{3}\cdot 4^{3/2} = \frac{2}{3}\cdot 8 = \frac{16}{3}$.

### Qual é a integral de x√x?

Junte as potências primeiro: $x\sqrt{x} = x^{3/2}$, então a integral é $\frac{2}{5}x^{5/2} + C$.