# Integral de sec³ x: fórmula, dedução e exemplos

> A integral de sec³ x é ½(sec x tg x + ln|sec x + tg x|) + C. Veja o ciclo da integração por partes passo a passo, a verificação e o comprimento de arco.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/integrais/integral-de-sec-cubo-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \int \sec^3 x\,dx = \frac{1}{2}\left(\sec x\tan x + \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert\right) + C $$

## Visão geral

- **Primitiva:** $\dfrac{1}{2}\sec x\tan x + \dfrac{1}{2}\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$
- **Método:** Integração por partes com $u = \sec x$, $dv = \sec^2 x\,dx$
- **Identidade-chave:** $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$
- **De 0 a π/4:** $\dfrac{\sqrt{2} + \ln(1 + \sqrt{2})}{2} \approx 1.148$
- **Fórmula de redução:** $\int\sec^n x\,dx = \dfrac{\sec^{n-2}x\tan x}{n - 1} + \dfrac{n - 2}{n - 1}\int\sec^{n-2}x\,dx$

## Pontos principais

- A integral de $\sec^3 x$ é $\frac{1}{2}\left(\sec x\tan x + \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert\right) + C$.
- Integre por partes uma vez, use $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$, e a integral original reaparece do lado direito.
- Passe-a para o lado esquerdo e divida por $2$. Esse truque do ciclo também funciona em $\int e^x\sin x\,dx$.
- Ela aparece sempre que você integra $\sqrt{1 + x^2}$, por exemplo no comprimento de arco de uma parábola.

A **integral de $\sec^3 x$ é $\dfrac{1}{2}\left(\sec x\tan x + \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert\right) + C$**. É o exemplo clássico de integração por partes em que a integral volta ao ponto de partida e você resolve para ela.

$$\int \sec^3 x\,dx = \frac{1}{2}\sec x\tan x + \frac{1}{2}\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$$

## Gráfico de sec³ x e a área sob ele

```graph
title: 'Área sob y = sec³ x de 0 a π/4'
caption: 'A área sombreada é $\frac{\sqrt{2} + \ln(1 + \sqrt{2})}{2} \approx 1.148$. A função cresce muito rápido em direção à assíntota em $x = \frac{\pi}{2}$.'
x: [-1.6, 1.6]
y: [-0.5, 6]
functions:
  - expr: sec(x)^3
    label: y = sec³ x
    domain: [-1.05, 1.05]
  - expr: sec(x)
    label: y = sec x (para comparação)
    dashed: true
    domain: [-1.3, 1.3]
shade: {expr: sec(x)^3, from: 0, to: 0.7854}
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [0.7854, 2.828, '(π/4, 2√2)']
```

## Dedução por partes, passo a passo

Chame a integral de $I = \int\sec^3 x\,dx$.

1. Separe $\sec^3 x = \sec x\cdot\sec^2 x$ e use a [regra da integração por partes](/rules/integration-by-parts-rule) com
$$u = \sec x,\quad dv = \sec^2 x\,dx,\qquad du = \sec x\tan x\,dx,\quad v = \tan x$$
2. Aplique $\int u\,dv = uv - \int v\,du$:
$$I = \sec x\tan x - \int\sec x\tan^2 x\,dx$$
3. Troque $\tan^2 x$ por $\sec^2 x - 1$:
$$I = \sec x\tan x - \int\sec^3 x\,dx + \int\sec x\,dx = \sec x\tan x - I + \int\sec x\,dx$$
4. A integral original $I$ apareceu do lado direito. Some $I$ aos dois lados:
$$2I = \sec x\tan x + \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert$$
5. Divida por $2$ e some $C$.

O passo 4 usa a [integral de sec x](/integrals/sec-x). A escolha $dv = \sec^2 x\,dx$ funciona porque $\sec^2 x$ é a parte fácil de integrar, dando $\tan x$. O [guia de integração por partes](/blog/integration-by-parts) traz mais exemplos desse ciclo.

## Verificação por derivação

Primeiro, pela [regra do produto](/rules/product-rule):

$$\frac{d}{dx}(\sec x\tan x) = \sec x\tan x\cdot\tan x + \sec x\cdot\sec^2 x = \sec x\tan^2 x + \sec^3 x$$

Troque $\tan^2 x$ por $\sec^2 x - 1$ para obter $2\sec^3 x - \sec x$. A derivada do termo com logaritmo é $\sec x$. Então

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}\sec x\tan x + \frac{1}{2}\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert\right] = \frac{1}{2}\left(2\sec^3 x - \sec x + \sec x\right) = \sec^3 x \checkmark$$

## Integral definida

Em $x = \frac{\pi}{4}$: $\sec = \sqrt{2}$, $\tan = 1$. Em $x = 0$: $\sec = 1$, $\tan = 0$ e $\ln 1 = 0$. Então

$$\int_0^{\pi/4}\sec^3 x\,dx = \frac{1}{2}\left(\sqrt{2} + \ln(\sqrt{2} + 1)\right) \approx 1.148$$

## Aplicação: integral de √(1 + x²) e comprimento de arco

Seja $x = \tan\theta$, $dx = \sec^2\theta\,d\theta$. Então $\sqrt{1 + x^2} = \sec\theta$ e

$$\int\sqrt{1 + x^2}\,dx = \int\sec^3\theta\,d\theta = \frac{1}{2}x\sqrt{1 + x^2} + \frac{1}{2}\ln\left(x + \sqrt{1 + x^2}\right) + C$$

O comprimento de arco da parábola $y = \frac{x^2}{2}$ de $x = 0$ a $x = 1$ é $\int_0^1\sqrt{1 + x^2}\,dx$, que é exatamente a área sombreada acima: cerca de $1.148$. Mais sobre isso na lição de [comprimento de arco e área de superfície](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/arc-length-and-surface-area).

## A fórmula de redução

Os mesmos passos com $\sec^n x$ dão

$$\int\sec^n x\,dx = \frac{\sec^{n-2}x\tan x}{n - 1} + \frac{n - 2}{n - 1}\int\sec^{n-2}x\,dx$$

Com $n = 3$ esse é o nosso resultado. Com $n = 5$, ela reduz $\sec^5 x$ a $\sec^3 x$, que agora você já sabe calcular.

## Erros comuns

1. **Usar a regra da potência: $\frac{\sec^4 x}{4}$.** Sua derivada é $\sec^4 x\tan x$, e não $\sec^3 x$.
2. **Escolher $u = \sec^2 x$, $dv = \sec x\,dx$.** Aí $v = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert$, e a nova integral fica muito mais difícil.
3. **Esquecer de dividir por $2$** depois de juntar os termos com $I$.
4. **Perder o termo com logaritmo.** O $\int\sec x\,dx$ do passo 3 é fácil de esquecer.

Pratique com os [exercícios de integração por partes](/practice-problems/integration-by-parts).

## Perguntas frequentes

### Qual é a integral de sec³ x?

É $\frac{1}{2}\sec x\tan x + \frac{1}{2}\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$.

### Por que não posso usar a regra da potência em sec³ x?

A regra da potência para $\int u^3\,du$ exige que $du = \sec x\tan x\,dx$ esteja na integral. Ele não está, então é preciso usar integração por partes.

### Qual é a integral de √(1 + x²)?

Com $x = \tan\theta$ ela vira $\int\sec^3\theta\,d\theta$. A resposta é $\frac{1}{2}x\sqrt{1 + x^2} + \frac{1}{2}\ln\left(x + \sqrt{1 + x^2}\right) + C$.

### Qual é a integral de sec³ x de 0 a π/4?

É $\frac{1}{2}\left(\sqrt{2} + \ln(1 + \sqrt{2})\right) \approx 1.148$.