# Integral de sec² x: fórmula, dedução e exemplos

> A integral de sec² x é tg x + C. Veja por que ela vem da derivada de tg x, a forma sec²(ax), integrais relacionadas como tg² x e cossec² x, e exemplos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/integrais/integral-de-sec-quadrado-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \int \sec^2 x\,dx = \tan x + C $$

## Visão geral

- **Primitiva:** $\tan x + C$
- **Também escrita como:** $\int\dfrac{1}{\cos^2 x}\,dx = \tan x + C$
- **Forma linear:** $\int\sec^2(ax + b)\,dx = \dfrac{1}{a}\tan(ax + b) + C$
- **Parceira com cossecante:** $\int\csc^2 x\,dx = -\cot x + C$
- **De 0 a π/4:** $1$

## Pontos principais

- A integral de $\sec^2 x$ é $\tan x + C$, porque a derivada de $\tan x$ é $\sec^2 x$.
- A regra da potência não se aplica: $\int\sec^2 x\,dx$ não é $\frac{\sec^3 x}{3}$.
- Para $\sec^2(ax)$, divida por $a$.
- A identidade $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ transforma $\int\tan^2 x\,dx$ nesta integral.

A **integral de $\sec^2 x$ é $\tan x + C$**. Ela é a inversão direta da derivada de $\tan x$, então não há nada a calcular, apenas um fato a reconhecer.

$$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$$

## Gráfico de sec² x e de sua primitiva

```graph
title: 'Área sob y = sec² x de 0 a π/4, com a primitiva y = tg x'
caption: 'A área sombreada é $\tan\frac{\pi}{4} - \tan 0 = 1$. A curva tracejada $y = \tan x$ é mais íngreme onde $\sec^2 x$ é maior, perto das assíntotas.'
x: [-1.6, 1.6]
y: [-3, 5]
functions:
  - expr: sec(x)^2
    label: y = sec² x
    domain: [-1.1, 1.1]
  - expr: tan(x)
    label: y = tg x (primitiva)
    dashed: true
    domain: [-1.37, 1.37]
shade: {expr: sec(x)^2, from: 0, to: 0.7854}
points:
  - [0.7854, 1, '(π/4, 1)']
  - [0, 1, 'inclinação 1']
```

O menor valor de $\sec^2 x$ é $1$, em $x = 0$. Isso coincide com a inclinação de $\tan x$ na origem.

## Dedução

1. Lembre a [derivada de tg x](/derivatives/tan-x): $\frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x$.
2. Então $\tan x$ é uma primitiva de $\sec^2 x$.
3. Some $C$: $\int\sec^2 x\,dx = \tan x + C$.

Se você esqueceu por que $\frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x$, aplique a [regra do quociente](/rules/quotient-rule) a $\frac{\sin x}{\cos x}$:

$$\frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$$

## Verificação por derivação

$$\frac{d}{dx}(\tan x + C) = \sec^2 x \checkmark$$

## Integrais definidas

$$\int_0^{\pi/4}\sec^2 x\,dx = 1, \qquad \int_0^{\pi/3}\sec^2 x\,dx = \sqrt{3}, \qquad \int_{-\pi/4}^{\pi/4}\sec^2 x\,dx = 2$$

Qualquer intervalo que alcance $\pm\frac{\pi}{2}$ dá uma integral imprópria divergente, porque $\tan x \to \infty$.

## Variantes por substituição

$$\int\sec^2(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\tan(ax + b) + C$$

**Exemplo 1.** $\int\sec^2(5x)\,dx = \frac{1}{5}\tan(5x) + C$.

**Exemplo 2.** $\int x\sec^2(x^2)\,dx = \frac{1}{2}\tan(x^2) + C$, com $u = x^2$.

**Exemplo 3.** $\int\sec^2 x\,e^{\tan x}\,dx = e^{\tan x} + C$, com $u = \tan x$.

**Exemplo 4.** $\int\frac{\sec^2 x}{\tan x}\,dx = \ln\lvert\tan x\rvert + C$, já que o numerador é a derivada do denominador.

## Integrais relacionadas

As integrais trigonométricas de "quadrados" e "produtos" saem direto das derivadas trigonométricas:

| Integral | Resposta | Vem de |
| --- | --- | --- |
| $\int\sec^2 x\,dx$ | $\tan x + C$ | $(\tan x)' = \sec^2 x$ |
| $\int\csc^2 x\,dx$ | $-\cot x + C$ | $(\cot x)' = -\csc^2 x$ |
| $\int\sec x\tan x\,dx$ | $\sec x + C$ | $(\sec x)' = \sec x\tan x$ |
| $\int\csc x\cot x\,dx$ | $-\csc x + C$ | $(\csc x)' = -\csc x\cot x$ |
| $\int\tan^2 x\,dx$ | $\tan x - x + C$ | $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ |

A última linha é resolvida na página da [integral de tg² x](/integrals/tan-squared-x), e a terceira na página da [integral de sec x tg x](/integrals/sec-x-tan-x).

## Exemplo resolvido: duas respostas corretas

Calcule $\int\sec^2 x\tan x\,dx$.

- Com $u = \tan x$, $du = \sec^2 x\,dx$: a resposta é $\frac{\tan^2 x}{2} + C$.
- Com $u = \sec x$, $du = \sec x\tan x\,dx$: o integrando é $\sec x\cdot(\sec x\tan x)$, então a resposta é $\frac{\sec^2 x}{2} + C$.

As duas estão certas. Como $\sec^2 x = \tan^2 x + 1$, as duas respostas diferem só pela constante $\frac{1}{2}$, que o $C$ absorve.

## Erros comuns

1. **Usar a regra da potência: $\frac{\sec^3 x}{3}$.** A regra da potência exige que a derivada de dentro, $\sec x\tan x$, esteja presente. Ela não está.
2. **Responder $2\sec x\cdot\sec x\tan x$.** Essa é a derivada de $\sec^2 x$.
3. **Confundir com $\int\sec x\,dx$.** Essa vale $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$. Veja a [integral de sec x](/integrals/sec-x).
4. **Esquecer de dividir por $a$** em $\int\sec^2(ax)\,dx$.

Pratique com os [exercícios de integrais trigonométricas](/practice-problems/trig-integrals).

## Perguntas frequentes

### Qual é a integral de sec² x?

A integral de $\sec^2 x$ é $\tan x + C$.

### Qual é a integral de 1/cos² x?

Como $\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$, ela é $\tan x + C$.

### Qual é a integral de sec²(3x)?

É $\frac{1}{3}\tan(3x) + C$.

### Qual é a integral de sec² x tg x?

Com $u = \tan x$ ela é $\frac{\tan^2 x}{2} + C$. Com $u = \sec x$ você obtém $\frac{\sec^2 x}{2} + C$. As duas estão certas, pois diferem pela constante $\frac{1}{2}$.