# Integral de sec x tg x: fórmula, dedução e exemplos

> A integral de sec x tg x é sec x + C. Veja por que ela inverte a derivada de sec x, como reconhecê-la disfarçada de sen x/cos² x e exemplos com substituição.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/integrais/integral-de-sec-x-tg-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \int \sec x\tan x\,dx = \sec x + C $$

## Visão geral

- **Primitiva:** $\sec x + C$
- **O mesmo que:** $\int\dfrac{\sin x}{\cos^2 x}\,dx = \sec x + C$
- **Forma linear:** $\int\sec(ax)\tan(ax)\,dx = \dfrac{1}{a}\sec(ax) + C$
- **Parceira com cossecante:** $\int\csc x\cot x\,dx = -\csc x + C$
- **De 0 a π/3:** $1$

## Pontos principais

- A integral de $\sec x\tan x$ é $\sec x + C$, porque a derivada de $\sec x$ é $\sec x\tan x$.
- Ela costuma aparecer disfarçada de $\frac{\sin x}{\cos^2 x}$.
- É a chave das substituições com $u = \sec x$, como em $\int\sec^3 x\tan x\,dx$.
- Sua parceira é $\int\csc x\cot x\,dx = -\csc x + C$, com sinal de menos.

A **integral de $\sec x\tan x$ é $\sec x + C$**. Ela é o inverso de uma das seis derivadas trigonométricas básicas, então vale a pena reconhecê-la de imediato.

$$\int \sec x\tan x\,dx = \sec x + C$$

## Gráfico de sec x tg x e de sua primitiva

```graph
title: 'Área sob y = sec x tg x de 0 a π/3, com a primitiva y = sec x'
caption: 'A área sombreada é $\sec\frac{\pi}{3} - \sec 0 = 2 - 1 = 1$. A curva tracejada $y = \sec x$ tem mínimo em $x = 0$, exatamente onde $\sec x\tan x$ corta o zero.'
x: [-1.6, 1.6]
y: [-4, 5]
functions:
  - expr: sec(x)tan(x)
    label: y = sec x tg x
    domain: [-1.2, 1.2]
  - expr: sec(x)
    label: y = sec x (primitiva)
    dashed: true
    domain: [-1.35, 1.35]
shade: {expr: sec(x)tan(x), from: 0, to: 1.0472}
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [1.0472, 2, '(π/3, 2)']
```

$\sec x\tan x$ é uma função ímpar, então sua primitiva $\sec x$ é par.

## Dedução

1. Lembre a [derivada de sec x](/derivatives/sec-x): $\frac{d}{dx}\sec x = \sec x\tan x$.
2. Inverta: $\sec x$ é uma primitiva de $\sec x\tan x$.
3. Some $C$.

Se quiser ver de onde vem a derivada, escreva $\sec x = (\cos x)^{-1}$ e use a [regra da cadeia](/rules/chain-rule):

$$\frac{d}{dx}(\cos x)^{-1} = -(\cos x)^{-2}\cdot(-\sin x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \sec x\tan x$$

## Verificação por derivação

$$\frac{d}{dx}(\sec x + C) = \sec x\tan x \checkmark$$

## Reconhecendo-a disfarçada

A integral nem sempre vem identificada. Cada uma destas é $\sec x\tan x$:

| Integrando | Reescrita | Integral |
| --- | --- | --- |
| $\frac{\sin x}{\cos^2 x}$ | $\frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}$ | $\sec x + C$ |
| $\frac{\tan x}{\cos x}$ | $\tan x\sec x$ | $\sec x + C$ |
| $\frac{\sin x}{1 - \sin^2 x}$ | $\frac{\sin x}{\cos^2 x}$ | $\sec x + C$ |

Você também pode resolver a primeira linha diretamente com $u = \cos x$: $\int\frac{\sin x}{\cos^2 x}\,dx = -\int u^{-2}\,du = u^{-1} + C = \sec x + C$.

## Integrais definidas

$$\int_0^{\pi/3}\sec x\tan x\,dx = 2 - 1 = 1, \qquad \int_0^{\pi/4}\sec x\tan x\,dx = \sqrt{2} - 1 \approx 0.414$$

Num intervalo simétrico como $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ a integral é $0$, porque o integrando é ímpar.

## Variantes por substituição

$$\int\sec(ax + b)\tan(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\sec(ax + b) + C$$

**Exemplo 1.** $\int\sec(5x)\tan(5x)\,dx = \frac{1}{5}\sec(5x) + C$.

**Exemplo 2: potências de sec.** Com $u = \sec x$, $du = \sec x\tan x\,dx$:

$$\int\sec^3 x\tan x\,dx = \int\sec^2 x\cdot(\sec x\tan x)\,dx = \int u^2\,du = \frac{\sec^3 x}{3} + C$$

**Exemplo 3: potências ímpares de tg.** $\int\tan^3 x\sec x\,dx = \int(\sec^2 x - 1)\sec x\tan x\,dx = \frac{\sec^3 x}{3} - \sec x + C$.

**Exemplo 4: a parceira com cossecante.** $\int\csc x\cot x\,dx = -\csc x + C$, já que $\frac{d}{dx}\csc x = -\csc x\cot x$.

## Erros comuns

1. **Integrar cada fator separadamente.** $\int\sec x\tan x\,dx$ não é $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert\cdot\ln\lvert\sec x\rvert$. A integral não se separa sobre produtos.
2. **Responder $\tan x$.** Essa é a integral de $\sec^2 x$. Veja a [integral de sec² x](/integrals/sec-squared-x).
3. **Responder $\csc x$ na versão com cossecante.** Ela precisa de um sinal de menos: $-\csc x + C$.
4. **Não perceber o disfarce.** Sempre tente reescrever $\frac{\sin x}{\cos^2 x}$ antes de partir para um método mais difícil.

Pratique com os [exercícios de integrais trigonométricas](/practice-problems/trig-integrals).

## Perguntas frequentes

### Qual é a integral de sec x tg x?

A integral de $\sec x\tan x$ é $\sec x + C$.

### Qual é a integral de sen x / cos² x?

Como $\frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} = \sec x\tan x$, a integral é $\sec x + C$.

### Qual é a integral de sec(2x) tg(2x)?

É $\frac{1}{2}\sec(2x) + C$.

### Qual é a integral de cossec x cotg x?

É $-\csc x + C$, porque a derivada de $\csc x$ é $-\csc x\cot x$.