# Integral de sec x (secante): fórmula, dedução e exemplos

> A integral de sec x é ln|sec x + tg x| + C. Veja o truque de multiplicar por um passo a passo, as formas equivalentes, a verificação por derivação e exemplos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/integrais/integral-de-sec-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \int \sec x\,dx = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C $$

## Visão geral

- **Primitiva:** $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$
- **Método:** Multiplicar por $\dfrac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x}$
- **Forma equivalente:** $\dfrac{1}{2}\ln\left\lvert\dfrac{1 + \sin x}{1 - \sin x}\right\rvert + C$
- **Outra forma:** $\ln\left\lvert\tan\left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{4}\right)\right\rvert + C$
- **De 0 a π/4:** $\ln\left(1 + \sqrt{2}\right) \approx 0.881$

## Pontos principais

- A integral de $\sec x$ é $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$.
- O truque é multiplicar por $\frac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x}$, o que transforma o numerador na derivada do denominador.
- Outros livros a escrevem como $\frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}\right\rvert$ ou $\ln\left\lvert\tan\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\right\rvert$. Todas são iguais.
- Não é $\sec x\tan x$. Essa é a derivada de $\sec x$.

A **integral de $\sec x$ é $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$**. Ela é famosa porque a dedução padrão depende de um truque que ninguém adivinharia de primeira, e reaparece dentro de integrais mais difíceis como $\int\sec^3 x\,dx$.

$$\int \sec x\,dx = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$$

## Gráfico de sec x e a área sob ele

```graph
title: 'Área sob y = sec x de 0 a π/4, com a primitiva y = ln|sec x + tg x|'
caption: 'A área sombreada é $\ln(1 + \sqrt{2}) \approx 0.881$. A primitiva tracejada passa pela origem e é sempre crescente, porque $\sec x > 0$ em $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$.'
x: [-1.6, 1.6]
y: [-3, 4]
functions:
  - expr: sec(x)
    label: y = sec x
    domain: [-1.3, 1.3]
  - expr: ln(abs(sec(x) + tan(x)))
    label: y = ln|sec x + tg x| (primitiva)
    dashed: true
    domain: [-1.5, 1.5]
shade: {expr: sec(x), from: 0, to: 0.7854}
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
```

## Dedução, passo a passo

1. Multiplique por uma forma esperta de $1$:
$$\int\sec x\,dx = \int\sec x\cdot\frac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x}\,dx = \int\frac{\sec^2 x + \sec x\tan x}{\sec x + \tan x}\,dx$$
2. Olhe para o denominador $u = \sec x + \tan x$. Sua derivada é $\sec x\tan x + \sec^2 x$, que é exatamente o numerador.
3. Então $du = (\sec^2 x + \sec x\tan x)\,dx$ e a integral vira $\int\frac{du}{u}$.
4. Integre: $\ln\lvert u\rvert + C = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$.

O passo 2 usa a [derivada de sec x](/derivatives/sec-x) e a [derivada de tg x](/derivatives/tan-x). O passo 4 usa a [integral de 1/x](/integrals/1-over-x).

## Verificação por derivação

$$\frac{d}{dx}\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert = \frac{\sec x\tan x + \sec^2 x}{\sec x + \tan x} = \frac{\sec x(\tan x + \sec x)}{\sec x + \tan x} = \sec x \checkmark$$

## Formas equivalentes

Você pode encontrar outras respostas em tabelas ou em softwares. Todas são a mesma função.

Como $\sec x + \tan x = \frac{1 + \sin x}{\cos x}$, elevando ao quadrado obtemos

$$(\sec x + \tan x)^2 = \frac{(1 + \sin x)^2}{1 - \sin^2 x} = \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}$$

Então $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}\right\rvert$. Uma identidade de arco metade também dá $\ln\left\lvert\tan\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\right\rvert$. Esta última forma é a que a projeção cartográfica de Mercator usa para espaçar os paralelos de latitude, e foi assim que a integral foi descoberta.

## Integrais definidas

$$\int_0^{\pi/4}\sec x\,dx = \ln\left(\sqrt{2} + 1\right) \approx 0.881$$

$$\int_0^{\pi/3}\sec x\,dx = \ln\left(2 + \sqrt{3}\right) \approx 1.317$$

Como $\sec x$ é par, $\int_{-a}^{a}\sec x\,dx = 2\ln(\sec a + \tan a)$ para $0 < a < \frac{\pi}{2}$.

## Variantes por substituição

$$\int\sec(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\ln\lvert\sec(ax + b) + \tan(ax + b)\rvert + C$$

Por exemplo, $\int\sec(2x)\,dx = \frac{1}{2}\ln\lvert\sec 2x + \tan 2x\rvert + C$.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: reescreva antes.** $\int\frac{1}{\cos x}\,dx$ é simplesmente $\int\sec x\,dx = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$.

**Exemplo 2: uma soma.** $\int(\sec x + \sec^2 x)\,dx = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + \tan x + C$.

**Exemplo 3: dentro de uma integral maior.** A integração por partes transforma $\int\sec^3 x\,dx$ em $\frac{1}{2}\sec x\tan x + \frac{1}{2}\int\sec x\,dx$. Veja a [integral de sec³ x](/integrals/sec-cubed-x).

**Exemplo 4: vinda de uma substituição trigonométrica.** $\int\frac{dx}{\sqrt{x^2 + 1}}$ com $x = \tan\theta$ vira $\int\sec\theta\,d\theta = \ln\lvert\sec\theta + \tan\theta\rvert + C = \ln\left(\sqrt{x^2 + 1} + x\right) + C$.

## Erros comuns

1. **Responder $\sec x\tan x$.** Essa é a derivada de $\sec x$. A integral dela está na página da [integral de sec x tg x](/integrals/sec-x-tan-x), no sentido oposto.
2. **Responder $\ln\lvert\sec x\rvert$.** Essa é a [integral de tg x](/integrals/tan-x).
3. **Responder $\tan x$.** Isso vem de $\sec^2 x$, e não de $\sec x$.
4. **Esquecer o módulo** em intervalos onde $\sec x + \tan x < 0$.

A versão com cossecante funciona do mesmo jeito: veja a [integral de cossec x](/integrals/csc-x).

## Perguntas frequentes

### Qual é a integral de sec x?

A integral de $\sec x$ é $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$.

### Como se demonstra a integral de sec x?

Multiplique numerador e denominador por $\sec x + \tan x$. O numerador vira $\sec^2 x + \sec x\tan x$, que é a derivada do denominador $\sec x + \tan x$. Então $u = \sec x + \tan x$ dá $\ln\lvert u\rvert + C$.

### Qual é a integral de sec(2x)?

É $\frac{1}{2}\ln\lvert\sec 2x + \tan 2x\rvert + C$.

### Qual é a integral de sec x de 0 a π/4?

É $\ln\left(\sqrt{2} + 1\right) - \ln(1 + 0) = \ln\left(1 + \sqrt{2}\right) \approx 0.881$.