# Integral de sen 2x: fórmula, dedução e exemplos

> A integral de sen 2x é -cos(2x)/2 + C. Veja a substituição, por que sen² x + C e -cos² x + C também estão certas e exemplos de integrais definidas.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/integrais/integral-de-sen-2x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \int \sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C $$

## Visão geral

- **Primitiva:** $-\dfrac{1}{2}\cos 2x + C$
- **Também correto:** $\sin^2 x + C$ ou $-\cos^2 x + C$
- **Método:** $u = 2x$, $du = 2\,dx$
- **De 0 a π/2:** $1$
- **Forma geral:** $\int\sin(kx)\,dx = -\dfrac{1}{k}\cos(kx) + C$

## Pontos principais

- A integral de $\sin 2x$ é $-\frac{1}{2}\cos 2x + C$.
- O fator $\frac{1}{2}$ desfaz o $2$ que a regra da cadeia produz quando você deriva $\cos 2x$.
- Como $\sin 2x = 2\sin x\cos x$, você também pode obter $\sin^2 x + C$ ou $-\cos^2 x + C$. As três estão corretas.
- Respostas de aparência diferente para uma integral indefinida podem estar todas certas se diferirem por uma constante.

A **integral de $\sin 2x$ é $-\dfrac{1}{2}\cos 2x + C$**. É a [integral de sen x](/integrals/sin-x) com um passo extra para lidar com o $2$ de dentro.

$$\int \sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C$$

## Gráfico de sen 2x e de sua primitiva

```graph
title: 'Área sob y = sen 2x de 0 a π/2, com a primitiva y = -cos(2x)/2'
caption: 'O arco sombreado tem área $1$, metade da área sob um arco de $\sin x$, porque foi comprimido para metade da largura. A primitiva tracejada sobe de $-\frac{1}{2}$ a $\frac{1}{2}$.'
x: [-0.5, 6.5]
y: [-1.5, 1.5]
functions:
  - expr: sin(2x)
    label: y = sen 2x
  - expr: -cos(2x)/2
    label: y = -cos(2x)/2 (primitiva)
    dashed: true
shade: {expr: sin(2x), from: 0, to: 1.5708}
points:
  - [0, -0.5, '(0, -1/2)']
  - [1.5708, 0.5, '(π/2, 1/2)']
```

## Dedução por substituição

1. Seja $u = 2x$. Então $du = 2\,dx$, logo $dx = \frac{1}{2}du$.
2. Substitua: $\displaystyle\int\sin 2x\,dx = \frac{1}{2}\int\sin u\,du$.
3. Integre: $\frac{1}{2}(-\cos u) + C$.
4. Volte com $u = 2x$: $-\frac{1}{2}\cos 2x + C$.

Os mesmos passos dão a regra geral $\int\sin(kx)\,dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$. Veja a [substituição (mudança de variável)](/rules/u-substitution-rule).

## Verificação por derivação

$$\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right) = -\frac{1}{2}\cdot(-\sin 2x)\cdot 2 = \sin 2x \checkmark$$

O fator $2$ da regra da cadeia cancela o $\frac{1}{2}$. O sentido direto está na página da [derivada de sen 2x](/derivatives/sin-2x).

## Três respostas corretas

Usando a identidade do arco duplo $\sin 2x = 2\sin x\cos x$:

- Com $u = \sin x$, $du = \cos x\,dx$: $\int 2u\,du = \sin^2 x + C$.
- Com $u = \cos x$, $du = -\sin x\,dx$: $\int -2u\,du = -\cos^2 x + C$.

Elas parecem diferentes de $-\frac{1}{2}\cos 2x$, mas não são. Como $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1$:

$$-\frac{1}{2}\cos 2x = \sin^2 x - \frac{1}{2} = -\cos^2 x + \frac{1}{2}$$

Então as três respostas diferem apenas por constantes. Isso é permitido: o $+C$ absorve a diferença. Isso também explica por que a [derivada de sen² x](/derivatives/sin-squared-x) é $\sin 2x$.

## Integrais definidas

$$\int_0^{\pi/2}\sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos\pi + \frac{1}{2}\cos 0 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$

$$\int_0^{\pi/4}\sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

$$\int_0^{\pi}\sin 2x\,dx = 0$$

Numa integral definida, as três formas da primitiva dão o mesmo número, porque a constante se cancela na subtração.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1.** $\int(\sin 2x + \cos 2x)\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}\sin 2x + C$.

**Exemplo 2.** $\int 6\sin 3x\,dx = 6\cdot\left(-\frac{1}{3}\cos 3x\right) + C = -2\cos 3x + C$.

**Exemplo 3: sen 2x cos x.** Reescreva como $2\sin x\cos^2 x$ e faça $u = \cos x$:

$$\int\sin 2x\cos x\,dx = -\frac{2}{3}\cos^3 x + C$$

Verificação: $\frac{d}{dx}\left(-\frac{2}{3}\cos^3 x\right) = 2\cos^2 x\sin x = \sin 2x\cos x$.

**Exemplo 4: sen 2x cos 2x.** Use $\sin 2x\cos 2x = \frac{1}{2}\sin 4x$, então a integral é $-\frac{1}{8}\cos 4x + C$.

## Erros comuns

1. **Responder $-\cos 2x + C$.** Você esqueceu o $\frac{1}{2}$. Sua derivada é $2\sin 2x$.
2. **Responder $-2\cos 2x + C$.** Isso multiplica por $2$, que é o que a derivação faria.
3. **Achar que $\sin^2 x$ está errado porque difere do livro.** Derive: você obtém $\sin 2x$, então está certo.
4. **Escrever $2\sin x$ no lugar de $\sin 2x$.** $\sin 2x = 2\sin x\cos x$, e não $2\sin x$.

Pratique com os [exercícios de substituição](/practice-problems/u-substitution).

## Perguntas frequentes

### Qual é a integral de sen 2x?

A integral de $\sin 2x$ é $-\frac{1}{2}\cos 2x + C$.

### Por que obtenho sen² x quando integro sen 2x?

Se você escreve $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ e usa $u = \sin x$, obtém $\sin^2 x + C$. Isso também está certo, porque $\sin^2 x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x$, que difere de $-\frac{1}{2}\cos 2x$ apenas pela constante $\frac{1}{2}$.

### Qual é a integral de sen 2x de 0 a π/2?

É $\left[-\frac{1}{2}\cos 2x\right]_0^{\pi/2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

### Qual é a integral de 2 sen x cos x?

É a mesma integral, já que $2\sin x\cos x = \sin 2x$. Qualquer uma entre $-\frac{1}{2}\cos 2x$, $\sin^2 x$ ou $-\cos^2 x$, mais $C$.