# Integral de sen² x: fórmula, dedução e exemplos

> A integral de sen² x é x/2 - sen(2x)/4 + C. Veja a identidade de redução de potência passo a passo, a verificação por derivação, sen²(ax) e integrais definidas.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/integrais/integral-de-sen-quadrado-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \int \sin^2 x\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C $$

## Visão geral

- **Primitiva:** $\dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C$
- **Identidade usada:** $\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}$
- **Forma equivalente:** $\dfrac{x - \sin x\cos x}{2} + C$
- **De 0 a π:** $\dfrac{\pi}{2}$
- **Valor médio:** $\dfrac{1}{2}$ num período completo

## Pontos principais

- A integral de $\sin^2 x$ é $\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$.
- Use primeiro a identidade de redução de potência $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$. Não existe uma substituição direta.
- Em qualquer período completo, o valor médio de $\sin^2 x$ é $\frac{1}{2}$, então $\int_0^{\pi}\sin^2 x\,dx = \frac{\pi}{2}$.
- Não é $\frac{\sin^3 x}{3}$. A regra da potência precisa de um fator $\cos x$ que não está ali.

A **integral de $\sin^2 x$ é $\dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C$**. A chave é uma identidade de redução de potência que transforma o quadrado em algo que se integra termo a termo.

$$\int \sin^2 x\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$$

## Gráfico de sen² x e de sua primitiva

```graph
title: 'Área sob y = sen² x de 0 a π, com a primitiva y = x/2 - sen(2x)/4'
caption: 'A área sombreada é $\frac{\pi}{2} \approx 1.571$, exatamente metade do retângulo de $\pi$ por $1$. A primitiva tracejada oscila em torno da reta $y = \frac{x}{2}$.'
x: [-0.5, 6.8]
y: [-0.5, 3.5]
functions:
  - expr: sin(x)^2
    label: y = sen² x
  - expr: x/2 - sin(2x)/4
    label: y = x/2 - sen(2x)/4 (primitiva)
    dashed: true
shade: {expr: sin(x)^2, from: 0, to: 3.14159}
points:
  - [3.14159, 1.5708, '(π, π/2)']
```

O gráfico de $\sin^2 x$ oscila entre $0$ e $1$ com período $\pi$, centrado em $y = \frac{1}{2}$. Por isso a primitiva cresce, em média, como $\frac{x}{2}$.

## Dedução, passo a passo

1. Parta da identidade do arco duplo $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$.
2. Isole $\sin^2 x$: $\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}$.
3. Substitua na integral:
$$\int\sin^2 x\,dx = \frac{1}{2}\int(1 - \cos 2x)\,dx$$
4. Integre cada termo. $\int 1\,dx = x$ e $\int\cos 2x\,dx = \frac{\sin 2x}{2}$, pela [integral de cos x](/integrals/cos-x) com $a = 2$.
5. Junte: $\frac{1}{2}\left(x - \frac{\sin 2x}{2}\right) + C = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$.

Usando $\sin 2x = 2\sin x\cos x$, também dá para escrever a resposta como $\frac{1}{2}(x - \sin x\cos x) + C$.

## Verificação por derivação

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4}\right) = \frac{1}{2} - \frac{2\cos 2x}{4} = \frac{1 - \cos 2x}{2} = \sin^2 x \checkmark$$

O sentido direto está na página da [derivada de sen² x](/derivatives/sin-squared-x): $\frac{d}{dx}\sin^2 x = \sin 2x$.

## Integrais definidas

| Integral | Valor |
| --- | --- |
| $\int_0^{\pi/2}\sin^2 x\,dx$ | $\frac{\pi}{4}$ |
| $\int_0^{\pi}\sin^2 x\,dx$ | $\frac{\pi}{2}$ |
| $\int_0^{2\pi}\sin^2 x\,dx$ | $\pi$ |
| $\int_0^{\pi/4}\sin^2 x\,dx$ | $\frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}$ |

Na última linha: $\frac{\pi/4}{2} - \frac{\sin(\pi/2)}{4} = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} \approx 0.143$.

Um atalho: num período completo, $\sin^2 x$ e $\cos^2 x$ têm a mesma área, e juntas integram $1$. Então cada uma fica com metade do comprimento do intervalo.

## Variantes por substituição

Para $\sin^2(ax)$, use $\sin^2(ax) = \frac{1 - \cos 2ax}{2}$:

$$\int\sin^2(ax)\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2ax)}{4a} + C$$

Assim, $\int\sin^2(3x)\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 6x}{12} + C$.

Quando há um fator $\cos x$, dispense a identidade e substitua $u = \sin x$:

$$\int\sin^2 x\cos x\,dx = \frac{\sin^3 x}{3} + C$$

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: valor médio.** O valor médio de $\sin^2 x$ em $[0, 2\pi]$ é $\frac{1}{2\pi}\cdot\pi = \frac{1}{2}$. É por isso que a potência em corrente alternada usa o fator $\frac{1}{2}$ (e o valor eficaz usa $\frac{1}{\sqrt{2}}$).

**Exemplo 2: volume.** Girar um arco de $y = \sin x$ em torno do eixo $x$ gera um sólido de volume $\pi\int_0^\pi\sin^2 x\,dx = \frac{\pi^2}{2}$.

**Exemplo 3: sen⁴ x.** Eleve a identidade ao quadrado: $\sin^4 x = \frac{(1 - \cos 2x)^2}{4} = \frac{1}{4} - \frac{\cos 2x}{2} + \frac{\cos^2 2x}{4}$, e depois reduza $\cos^2 2x$ de novo. O resultado é $\frac{3x}{8} - \frac{\sin 2x}{4} + \frac{\sin 4x}{32} + C$.

## Erros comuns

1. **Responder $\frac{\sin^3 x}{3}$.** Sua derivada é $\sin^2 x\cos x$, e não $\sin^2 x$.
2. **Responder $-\cos^2 x$.** Sua derivada é $2\sin x\cos x = \sin 2x$.
3. **Usar o sinal errado na identidade.** Para $\sin^2$ é $1 - \cos 2x$. Para $\cos^2$ é $1 + \cos 2x$.
4. **Esquecer de dividir $\sin 2x$ por $2$** ao integrar $\cos 2x$, o que dá $\frac{\sin 2x}{2}$ em vez de $\frac{\sin 2x}{4}$ no final.

A seguir: a [integral de cos² x](/integrals/cos-squared-x) usa a mesma ideia. Pratique com os [exercícios de integrais trigonométricas](/practice-problems/trig-integrals).

## Perguntas frequentes

### Qual é a integral de sen² x?

É $\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$, que também pode ser escrita como $\frac{1}{2}(x - \sin x\cos x) + C$.

### Qual é a integral de sen² x de 0 a π?

É $\frac{\pi}{2} - \frac{\sin 2\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{2}$.

### Qual é a integral de sen²(3x)?

É $\frac{x}{2} - \frac{\sin 6x}{12} + C$. Use $\sin^2(3x) = \frac{1 - \cos 6x}{2}$.

### Por que não posso usar u = sen x?

Nesse caso $du = \cos x\,dx$, mas não há nenhum $\cos x$ em $\int\sin^2 x\,dx$ para absorver. Essa substituição só funciona em integrais como $\int\sin^2 x\cos x\,dx$.