# Integral de sen x: fórmula, dedução e exemplos

> A integral de sen x é -cos x + C. Veja de onde vem o sinal de menos, a área de um arco, sen(ax + b) por substituição e integrais definidas resolvidas.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/integrais/integral-de-sen-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \int \sin x\,dx = -\cos x + C $$

## Visão geral

- **Primitiva:** $-\cos x + C$
- **Área de um arco:** $\int_0^\pi \sin x\,dx = 2$
- **Período completo:** $\int_0^{2\pi}\sin x\,dx = 0$
- **Forma linear:** $\int\sin(ax + b)\,dx = -\dfrac{1}{a}\cos(ax + b) + C$
- **Verificação:** $\dfrac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x$

## Pontos principais

- A integral de $\sin x$ é $-\cos x + C$. O sinal de menos é essencial.
- Um arco da senoide, de $0$ a $\pi$, tem área exatamente $2$.
- Num período completo a integral de $\sin x$ é $0$, porque o arco abaixo do eixo cancela o arco acima.
- Para $\sin(ax + b)$, divida por $a$: $\int\sin(3x)\,dx = -\frac{1}{3}\cos(3x) + C$.

A **integral de $\sin x$ é $-\cos x + C$**. A maioria dos erros com essa integral se resume a uma coisa: o sinal de menos.

$$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$$

## Gráfico de sen x e de sua primitiva

```graph
title: 'Área sob y = sen x de 0 a π, com a primitiva y = -cos x'
caption: 'O arco sombreado tem área exatamente $2$. A curva tracejada $y = -\cos x$ sobe de $-1$ em $x = 0$ até $1$ em $x = \pi$, uma variação de $2$.'
x: [-1, 7]
y: [-1.6, 1.6]
functions:
  - expr: sin(x)
    label: y = sen x
  - expr: -cos(x)
    label: y = -cos x (primitiva)
    dashed: true
shade: {expr: sin(x), from: 0, to: 3.14159}
points:
  - [0, -1, '(0, -1)']
  - [3.14159, 1, '(π, 1)']
```

Onde $\sin x > 0$ (de $0$ a $\pi$), a primitiva $-\cos x$ sobe. Onde $\sin x < 0$ (de $\pi$ a $2\pi$), ela desce de volta.

## Dedução, passo a passo

1. Pergunte: qual função tem derivada $\sin x$?
2. Lembre a [derivada de cos x](/derivatives/cos-x): $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$.
3. A forma está certa, mas o sinal está errado. Multiplique por $-1$: $\frac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x$.
4. Então $-\cos x$ é uma primitiva, e somar $C$ dá todas elas.

Um truque para memorizar: percorrer o ciclo $\sin \to \cos \to -\sin \to -\cos \to \sin$ é derivar. Percorrê-lo de trás para frente é integrar.

## Verificação por derivação

$$\frac{d}{dx}(-\cos x + C) = -(-\sin x) = \sin x \checkmark$$

## Integrais definidas

Pelo [Teorema Fundamental do Cálculo](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2):

$$\int_0^\pi \sin x\,dx = \Big[-\cos x\Big]_0^\pi = -\cos\pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2$$

Outros valores úteis:

| Integral | Valor | Por quê |
| --- | --- | --- |
| $\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx$ | $1$ | $-\cos\frac{\pi}{2} + \cos 0 = 0 + 1$ |
| $\int_0^{\pi}\sin x\,dx$ | $2$ | um arco completo |
| $\int_0^{2\pi}\sin x\,dx$ | $0$ | os dois arcos se cancelam |
| $\int_{-a}^{a}\sin x\,dx$ | $0$ | $\sin x$ é ímpar |

Se você quiser a área total em $[0, 2\pi]$ em vez da área com sinal, integre $\lvert\sin x\rvert$ e obtenha $4$.

## Variantes por substituição

Com $u = ax + b$, $du = a\,dx$:

$$\int\sin(ax + b)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(ax + b) + C$$

Assim, $\int\sin(5x)\,dx = -\frac{1}{5}\cos(5x) + C$ e $\int\sin\left(\frac{x}{2}\right)dx = -2\cos\left(\frac{x}{2}\right) + C$. Para $\sin(2x)$ há uma página inteira: a [integral de sen 2x](/integrals/sin-2x).

Quando a derivada da função de dentro aparece, substitua:

$$\int x\sin(x^2)\,dx = -\frac{1}{2}\cos(x^2) + C \quad (u = x^2)$$

$$\int \sin x\,e^{\cos x}\,dx = -e^{\cos x} + C \quad (u = \cos x)$$

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1.** $\int(3\sin x + 2x)\,dx = -3\cos x + x^2 + C$.

**Exemplo 2.** $\int_0^{\pi/3}\sin x\,dx = -\cos\frac{\pi}{3} + \cos 0 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.

**Exemplo 3: posição a partir da velocidade.** Uma partícula tem $v(t) = \sin t$ e parte de $s(0) = 0$. Então $s(t) = -\cos t + C$, e $s(0) = -1 + C = 0$ dá $C = 1$, logo $s(t) = 1 - \cos t$.

**Exemplo 4: valor médio.** O valor médio de $\sin x$ em $[0, \pi]$ é $\frac{1}{\pi}\cdot 2 = \frac{2}{\pi} \approx 0.637$.

## Erros comuns

1. **Escrever $\cos x + C$.** Confira derivando: $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$, então o sinal está errado.
2. **Esquecer de dividir por $a$** em $\int\sin(ax)\,dx$.
3. **Multiplicar por $a$ em vez de dividir.** $\int\sin(3x)\,dx$ não é $-3\cos(3x)$. Isso é o que a derivação faria.
4. **Erros de sinal em integrais definidas.** Escreva $[-\cos x]$ com colchetes e subtraia com cuidado: $-\cos\pi = +1$.

A seguir, veja a [integral de cos x](/integrals/cos-x) ou pratique com os [exercícios de integrais trigonométricas](/practice-problems/trig-integrals).

## Perguntas frequentes

### Qual é a integral de sen x?

A integral de $\sin x$ é $-\cos x + C$.

### Por que a integral de sen x é menos cos x?

Porque a derivada de $\cos x$ é $-\sin x$. Para obter $+\sin x$ é preciso derivar $-\cos x$.

### Qual é a integral de sen x de 0 a π?

É $-\cos\pi - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2$.

### Qual é a integral de sen(2x)?

É $-\frac{1}{2}\cos(2x) + C$. O fator $\frac{1}{2}$ desfaz o $2$ que a regra da cadeia produziria.