# Integral de tg x (tangente): fórmula, dedução e exemplos

> A integral de tg x é ln|sec x| + C, ou -ln|cos x| + C. Veja a substituição com u = cos x, por que as duas formas coincidem e integrais definidas resolvidas.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/integrais/integral-de-tg-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \int \tan x\,dx = \ln\lvert\sec x\rvert + C $$

## Visão geral

- **Primitiva:** $\ln\lvert\sec x\rvert + C$
- **Forma equivalente:** $-\ln\lvert\cos x\rvert + C$
- **Método:** Reescreva como $\dfrac{\sin x}{\cos x}$ e faça $u = \cos x$
- **Forma linear:** $\int\tan(ax)\,dx = \dfrac{1}{a}\ln\lvert\sec(ax)\rvert + C$
- **Verificação:** $\dfrac{d}{dx}\ln\lvert\sec x\rvert = \tan x$

## Pontos principais

- A integral de $\tan x$ é $\ln\lvert\sec x\rvert + C$, que é o mesmo que $-\ln\lvert\cos x\rvert + C$.
- Escreva $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ e substitua $u = \cos x$.
- Não é $\sec^2 x$. Essa é a derivada de $\tan x$.
- O módulo mantém a fórmula válida onde $\cos x < 0$.

A **integral de $\tan x$ é $\ln\lvert\sec x\rvert + C$**. Nenhuma derivada básica dá $\tan x$ diretamente, então a resposta vem de uma substituição rápida.

$$\int \tan x\,dx = \ln\lvert\sec x\rvert + C = -\ln\lvert\cos x\rvert + C$$

## Gráfico de tg x e de sua primitiva

```graph
title: 'Área sob y = tg x de 0 a π/4, com a primitiva y = ln|sec x|'
caption: 'A área sombreada é $\ln\sqrt{2} \approx 0.347$. A primitiva tracejada tem mínimo em $x = 0$, onde $\tan x = 0$, e dispara perto das assíntotas em $x = \pm\frac{\pi}{2}$.'
x: [-1.6, 1.6]
y: [-3, 3]
functions:
  - expr: tan(x)
    label: y = tg x
    domain: [-1.25, 1.25]
  - expr: ln(abs(sec(x)))
    label: y = ln|sec x| (primitiva)
    dashed: true
    domain: [-1.52, 1.52]
shade: {expr: tan(x), from: 0, to: 0.7854}
points:
  - [0.7854, 1, '(π/4, 1)']
```

## Dedução, passo a passo

1. Reescreva com seno e cosseno: $\displaystyle\int\tan x\,dx = \int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx$.
2. Seja $u = \cos x$. Então $du = -\sin x\,dx$, logo $\sin x\,dx = -du$.
3. Substitua: $\displaystyle\int\frac{-du}{u} = -\ln\lvert u\rvert + C$.
4. Volte com $u = \cos x$: $-\ln\lvert\cos x\rvert + C$.
5. Use uma propriedade do logaritmo para arrumar: $-\ln\lvert\cos x\rvert = \ln\frac{1}{\lvert\cos x\rvert} = \ln\lvert\sec x\rvert$.

O passo 3 usa a [integral de 1/x](/integrals/1-over-x). É o padrão $\int\frac{f'}{f}\,dx = \ln\lvert f\rvert$, com um sinal de menos porque o numerador é $-f'$.

## Verificação por derivação

$$\frac{d}{dx}\ln\lvert\sec x\rvert = \frac{1}{\sec x}\cdot\sec x\tan x = \tan x \checkmark$$

Isso usa a [derivada de sec x](/derivatives/sec-x), $\sec x\tan x$. Compare com a [derivada de tg x](/derivatives/tan-x), que é $\sec^2 x$: um resultado completamente diferente.

## Integrais definidas

$$\int_0^{\pi/4}\tan x\,dx = \Big[\ln\lvert\sec x\rvert\Big]_0^{\pi/4} = \ln\sqrt{2} - \ln 1 = \frac{1}{2}\ln 2$$

$$\int_0^{\pi/3}\tan x\,dx = \ln\sec\frac{\pi}{3} - 0 = \ln 2$$

Como $\tan x$ é ímpar, $\int_{-a}^{a}\tan x\,dx = 0$ para $a < \frac{\pi}{2}$. Integrar até $\frac{\pi}{2}$ dá uma integral imprópria que diverge, porque $\ln\sec x \to \infty$.

## Variantes por substituição

$$\int\tan(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\ln\lvert\sec(ax + b)\rvert + C$$

Por exemplo, $\int\tan(3x)\,dx = \frac{1}{3}\ln\lvert\sec(3x)\rvert + C$.

Com a derivada interna presente: $\int x\tan(x^2)\,dx = \frac{1}{2}\ln\lvert\sec(x^2)\rvert + C$.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: tg vezes sec².** $\int\tan x\sec^2 x\,dx$ com $u = \tan x$, $du = \sec^2 x\,dx$, dá $\frac{\tan^2 x}{2} + C$.

**Exemplo 2: tg ao cubo.** Use $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$:

$$\int\tan^3 x\,dx = \int\tan x\sec^2 x\,dx - \int\tan x\,dx = \frac{\tan^2 x}{2} - \ln\lvert\sec x\rvert + C$$

**Exemplo 3: a parceira cotg.** Os mesmos passos com $u = \sin x$ dão $\int\cot x\,dx = \ln\lvert\sin x\rvert + C$. Veja a [integral de cotg x](/integrals/cot-x).

## Erros comuns

1. **Responder $\sec^2 x$.** Essa é a derivada de $\tan x$, e não a integral.
2. **Responder $\ln\lvert\cos x\rvert$ sem o sinal de menos.** Sua derivada é $-\tan x$.
3. **Esquecer o módulo.** $\cos x$ é negativo em $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$, e o $\ln$ de um número negativo não está definido.
4. **Confundir com $\int\tan^2 x\,dx$**, que é $\tan x - x + C$. Veja a [integral de tg² x](/integrals/tan-squared-x).

Pratique com os [exercícios de substituição](/practice-problems/u-substitution).

## Perguntas frequentes

### Qual é a integral de tg x?

A integral de $\tan x$ é $\ln\lvert\sec x\rvert + C$. Ela também aparece escrita como $-\ln\lvert\cos x\rvert + C$.

### ln|sec x| e -ln|cos x| são a mesma coisa?

Sim. Como $\sec x = \frac{1}{\cos x}$, $\ln\lvert\sec x\rvert = \ln\frac{1}{\lvert\cos x\rvert} = -\ln\lvert\cos x\rvert$.

### Qual é a integral de tg x de 0 a π/4?

É $\ln\sec\frac{\pi}{4} - \ln\sec 0 = \ln\sqrt{2} = \frac{1}{2}\ln 2 \approx 0.347$.

### Qual é a integral de tg(2x)?

É $\frac{1}{2}\ln\lvert\sec(2x)\rvert + C$.