# Integral de x²: fórmula, dedução e exemplos

> A integral de x² é x³/3 + C. Veja a regra da potência inversa, uma prova por somas de Riemann, integrais definidas, a forma (ax + b)² e erros comuns.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/integrais/integral-de-x-ao-quadrado
Atualizado: 2026-11-06

$$ \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C $$

## Visão geral

- **Primitiva:** $\dfrac{x^3}{3} + C$
- **Regra usada:** Regra da potência inversa com $n = 2$
- **Área de 0 a b:** $\dfrac{b^3}{3}$
- **Área de 0 a 1:** $\dfrac{1}{3}$
- **Verificação:** $\dfrac{d}{dx}\dfrac{x^3}{3} = x^2$

## Pontos principais

- A integral de $x^2$ é $\frac{x^3}{3} + C$.
- A área sob $y = x^2$ de $0$ a $b$ é $\frac{b^3}{3}$, um terço do retângulo de $b$ por $b^2$ que a envolve.
- A integral de $3x^2$ é $x^3 + C$, o jeito mais fácil de memorizar o padrão.
- Com uma função linear dentro, $\int (ax + b)^2\,dx = \frac{(ax + b)^3}{3a} + C$.

A **integral de $x^2$ é $\dfrac{x^3}{3} + C$**. Some um ao expoente e divida pelo novo expoente.

$$\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C$$

## Gráfico: a área sob y = x²

```graph
title: 'Área sob y = x² de 0 a 2, com a primitiva y = x³/3'
caption: 'A área sombreada é $\frac{2^3}{3} = \frac{8}{3} \approx 2.67$. A primitiva tracejada $y = \frac{x^3}{3}$ passa por $\left(2, \frac{8}{3}\right)$.'
x: [-2, 2.6]
y: [-2.5, 5]
functions:
  - expr: x^2
    label: y = x²
  - expr: x^3/3
    label: y = x³/3 (primitiva)
    dashed: true
shade: {expr: x^2, from: 0, to: 2}
points:
  - [2, 2.667, '(2, 8/3)']
```

Repare que a primitiva é horizontal em $x = 0$ (onde $x^2 = 0$) e nunca decresce, porque $x^2$ nunca é negativo.

## Dedução pela regra da potência inversa

1. Parta da [regra da potência inversa](/rules/reverse-power-rule): $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ para $n \ne -1$.
2. Faça $n = 2$: o novo expoente é $3$.
3. Divida por $3$: $\frac{x^3}{3}$.
4. Some $C$.

## Uma prova por somas de Riemann

Também é possível achar a área sob $x^2$ de $0$ a $b$ sem conhecer nenhuma primitiva. Divida $[0, b]$ em $n$ faixas de largura $\frac{b}{n}$ e use os extremos direitos $x_i = \frac{bi}{n}$:

$$\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{bi}{n}\right)^2\frac{b}{n} = \frac{b^3}{n^3}\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{b^3}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Quando $n \to \infty$, a fração $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}$ tende a $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$, então a área é $\frac{b^3}{3}$. Isso confere com a primitiva. É o mesmo cálculo que Arquimedes fez para a parábola, e você pode praticá-lo no guia de [somas de Riemann](/blog/riemann-sums).

## Verificação por derivação

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3} + C\right) = \frac{3x^2}{3} = x^2 \checkmark$$

Veja também a [derivada de x²](/derivatives/x-squared).

## Variante por substituição: integral de (ax + b)²

Com $u = ax + b$ e $du = a\,dx$:

$$\int (ax + b)^2\,dx = \frac{1}{a}\int u^2\,du = \frac{(ax + b)^3}{3a} + C$$

Por exemplo, $\int (2x + 1)^2\,dx = \frac{(2x + 1)^3}{6} + C$. Verificação: a derivada é $\frac{3(2x+1)^2\cdot 2}{6} = (2x + 1)^2$.

A mesma ideia resolve um fator extra de $x$: $\int x(x^2 + 1)^2\,dx = \frac{(x^2 + 1)^3}{6} + C$, usando $u = x^2 + 1$. Mais sobre isso na página da [substituição (mudança de variável)](/rules/u-substitution-rule).

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1.** $\int_1^3 x^2\,dx = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$.

**Exemplo 2.** $\int (x^2 + 3x - 2)\,dx = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - 2x + C$.

**Exemplo 3.** $\int_{-2}^{2} x^2\,dx = \frac{8}{3} - \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{16}{3}$. Como $x^2$ é par, isso é o dobro de $\int_0^2 x^2\,dx$.

**Exemplo 4: volume.** Girar $y = x$ em torno do eixo $x$ em $[0, h]$ gera um cone de volume $\pi\int_0^h x^2\,dx = \frac{\pi h^3}{3}$, o conhecido $\frac{1}{3}\pi r^2 h$ com $r = h$.

## Erros comuns

1. **Escrever $2x$.** Isso é a derivada, e não a integral.
2. **Esquecer de dividir por $3$.** $x^3$ tem derivada $3x^2$, e não $x^2$.
3. **Integrar $(2x + 1)^2$ como $\frac{(2x+1)^3}{3}$.** Também é preciso dividir pela derivada de dentro, $2$.
4. **Elevar ao quadrado a integral de $x$.** A integral não se distribui sobre produtos.

Pratique com os [exercícios de primitivas](/practice-problems/antiderivatives) e os [exercícios de integrais definidas](/practice-problems/definite-integrals).

## Perguntas frequentes

### Qual é a integral de x²?

A integral de $x^2$ é $\frac{x^3}{3} + C$. Aumente o expoente de $2$ para $3$ e depois divida por $3$.

### Qual é a integral de x² de 0 a 1?

É $\frac{1^3}{3} - 0 = \frac{1}{3}$.

### Qual é a integral de 3x²?

É $x^3 + C$, porque $3\cdot\frac{x^3}{3} = x^3$.

### A integral de x² é igual a (integral de x)²?

Não. $\left(\frac{x^2}{2}\right)^2 = \frac{x^4}{4}$, que não é $\frac{x^3}{3}$. Não dá para elevar a integral de $x$ ao quadrado para obter a integral de $x^2$.