# Integral de x cos x: fórmula, passo a passo e exemplos

> A integral de x cos x é x sen x + cos x + C. Veja a integração por partes passo a passo, a verificação, um gráfico, integrais definidas e x² cos x.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/integrais/integral-de-x-cos-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \int x\cos x\,dx = x\sin x + \cos x + C $$

## Visão geral

- **Primitiva:** $x\sin x + \cos x + C$
- **Método:** Integração por partes com $u = x$, $dv = \cos x\,dx$
- **De 0 a π/2:** $\frac{\pi}{2} - 1 \approx 0.571$
- **De 0 a π:** $-2$
- **Com cos(kx):** $\int x\cos kx\,dx = \frac{x}{k}\sin kx + \frac{1}{k^2}\cos kx + C$

## Pontos principais

- A integral de $x\cos x$ é $x\sin x + \cos x + C$.
- Use integração por partes com $u = x$ e $dv = \cos x\,dx$, então $v = \sin x$.
- A integral que sobra é $-\int\sin x\,dx = +\cos x$, então os dois termos são positivos.
- Repita o passo de partes mais uma vez para $x^2\cos x$, ou use o método tabular.

A **integral de $x\cos x$ é $x\sin x + \cos x + C$**. Como $x\sin x$, é uma potência de $x$ vezes uma função trigonométrica, então a integração por partes com $u = x$ resolve em um passo.

$$\int x\cos x\,dx = x\sin x + \cos x + C$$

## Gráfico de x cos x e de sua primitiva

```graph
title: 'y = x cos x e sua primitiva x sen x + cos x'
caption: 'A área sombreada de $0$ a $\frac{\pi}{2}$ é $\frac{\pi}{2} - 1 \approx 0.571$. A primitiva tracejada tem picos e vales exatamente onde $x\cos x$ corta o zero.'
x: [-1, 7]
y: [-5.5, 7]
functions:
  - expr: x*cos(x)
    label: y = x cos x
  - expr: x*sin(x) + cos(x)
    label: y = x sen x + cos x (primitiva)
    dashed: true
shade:
  expr: x*cos(x)
  from: 0
  to: 1.5708
points:
  - [1.5708, 0, '(π/2, 0)']
```

## Como integrar x cos x passo a passo

Use a [integração por partes](/rules/integration-by-parts-rule), $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.

1. **Escolha as partes.** $u = x$ e $dv = \cos x\,dx$.
2. **Ache $du$ e $v$.** $du = dx$ e $v = \sin x$, pela [integral de cos x](/integrals/cos-x).
3. **Aplique a fórmula.**
$$\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int\sin x\,dx$$
4. **Termine.** $\int\sin x\,dx = -\cos x$, e subtraí-la dá $+\cos x$:
$$\int x\cos x\,dx = x\sin x + \cos x + C$$

$u = x$ é a escolha certa porque sua derivada é $1$, o que elimina o $x$. Escolher $u = \cos x$ aumentaria a potência para $x^2$.

## Verificação por derivação

$$\frac{d}{dx}\left(x\sin x + \cos x\right) = \sin x + x\cos x - \sin x = x\cos x$$

O $\sin x$ da [regra do produto](/rules/product-rule) cancela o $-\sin x$ vindo de $\cos x$.

## Integrais definidas

Seja $F(x) = x\sin x + \cos x$.

| Integral | Cálculo | Valor |
| --- | --- | --- |
| $\int_0^{\pi/2} x\cos x\,dx$ | $\left(\frac{\pi}{2} + 0\right) - (0 + 1)$ | $\frac{\pi}{2} - 1$ |
| $\int_0^{\pi} x\cos x\,dx$ | $(0 - 1) - (0 + 1)$ | $-2$ |
| $\int_{\pi/2}^{3\pi/2} x\cos x\,dx$ | $\left(-\frac{3\pi}{2}\right) - \frac{\pi}{2}$ | $-2\pi$ |
| $\int_{-a}^{a} x\cos x\,dx$ | integrando ímpar | $0$ |

A última linha usa simetria: $x\cos x$ é ímpar (uma função ímpar vezes uma par), então as áreas dos dois lados se cancelam.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: ângulo multiplicado.** $\int x\cos 3x\,dx$. Com $u = x$ e $v = \frac{1}{3}\sin 3x$:

$$\frac{x}{3}\sin 3x - \frac{1}{3}\int\sin 3x\,dx = \frac{x}{3}\sin 3x + \frac{1}{9}\cos 3x + C$$

**Exemplo 2: x ao quadrado.** $\int x^2\cos x\,dx$. Primeira passada com $u = x^2$, $v = \sin x$:

$$\int x^2\cos x\,dx = x^2\sin x - 2\int x\sin x\,dx$$

A [integral de x sen x](/integrals/x-sin-x) é $\sin x - x\cos x$, então

$$\int x^2\cos x\,dx = x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C$$

**Exemplo 3: um fator linear.** $\int(2x - 1)\cos x\,dx$. Com $u = 2x - 1$, $du = 2\,dx$:

$$(2x-1)\sin x - 2\int\sin x\,dx = (2x - 1)\sin x + 2\cos x + C$$

**Exemplo 4: um coeficiente de Fourier.** Em séries de Fourier aparecem integrais como $\int_{-\pi}^{\pi}x\cos(nx)\,dx$. O integrando é ímpar, então a resposta é $0$ para todo número natural $n$, sem precisar de partes.

**Exemplo 5: um produto escondido.** $\int x\cos^2 x\,dx$. Escreva $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ (veja a [integral de cos²x](/integrals/cos-squared-x)), e então

$$\int\frac{x}{2}\,dx + \frac{1}{2}\int x\cos 2x\,dx = \frac{x^2}{4} + \frac{x}{4}\sin 2x + \frac{1}{8}\cos 2x + C$$

## Erros comuns

1. **Escrever $x\sin x - \cos x$.** O que sobra é $-\int\sin x\,dx = -(-\cos x) = +\cos x$.
2. **Confundir com $x\sin x$.** Aqui $v = \sin x$, sem troca de sinal; para $x\sin x$, $v = -\cos x$.
3. **Integrar fator por fator.** $\frac{x^2}{2}\sin x$ não é a resposta; derive para ver por quê.
4. **Esquecer o $\frac{1}{k^2}$** no segundo termo quando o ângulo é $kx$.

Para mais prática, tente os [exercícios de integração por partes](/practice-problems/integration-by-parts).

## Perguntas frequentes

### Qual é a integral de x cos x?

É $x\sin x + \cos x + C$.

### Qual é a integral de x cos x de 0 a π?

É $-2$. A primitiva vale $\pi\cdot 0 + \cos\pi = -1$ em $\pi$ e $0 + \cos 0 = 1$ em $0$, então a resposta é $-1 - 1 = -2$.

### Qual é a integral de x² cos x?

É $x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C$. Use partes duas vezes, começando com $u = x^2$.

### Qual é a integral de x cos(3x)?

É $\frac{x}{3}\sin 3x + \frac{1}{9}\cos 3x + C$.