# Integral de x eˣ: fórmula, passo a passo e exemplos

> A integral de x eˣ é (x − 1)eˣ + C. Veja a integração por partes passo a passo, por que u = x é a escolha certa, um gráfico e exemplos como x e^(2x).

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/integrais/integral-de-x-e-elevado-a-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \int x e^x\,dx = (x - 1)e^x + C $$

## Visão geral

- **Primitiva:** $(x-1)e^x + C$
- **Método:** Integração por partes com $u = x$, $dv = e^x\,dx$
- **De 0 a 1:** $1$
- **Com e^(kx):** $\int xe^{kx}\,dx = \left(\frac{x}{k} - \frac{1}{k^2}\right)e^{kx} + C$

## Pontos principais

- A integral de $xe^x$ é $xe^x - e^x + C = (x-1)e^x + C$.
- Use integração por partes com $u = x$. Derivar $x$ o faz desaparecer, e $e^x$ é fácil de integrar.
- Escolher $u = e^x$ deixa a integral que sobra mais difícil, e não mais fácil.
- Para $e^{kx}$, a resposta é $\left(\frac{x}{k} - \frac{1}{k^2}\right)e^{kx} + C$.

A **integral de $xe^x$ é $(x - 1)e^x + C$**. É o primeiro exemplo padrão de integração por partes: uma potência de $x$ vezes uma exponencial.

$$\int x e^x\,dx = xe^x - e^x + C = (x-1)e^x + C$$

## Gráfico de x eˣ e de sua primitiva

```graph
title: 'y = x eˣ e sua primitiva (x − 1)eˣ'
caption: 'A área sombreada de $0$ a $1$ é exatamente $1$. A primitiva tracejada tem mínimo em $x = 0$, onde $xe^x$ passa de negativo para positivo.'
x: [-4, 1.4]
y: [-1.5, 5]
functions:
  - expr: x*e^x
    label: y = x eˣ
  - expr: (x-1)*e^x
    label: y = (x − 1)eˣ (primitiva)
    dashed: true
shade:
  expr: x*e^x
  from: 0
  to: 1
points:
  - [0, -1, '(0, −1)']
  - [1, 2.718, '(1, e)']
```

## Como integrar x eˣ passo a passo

A fórmula da [integração por partes](/rules/integration-by-parts-rule) é $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.

1. **Escolha as partes.** Seja $u = x$ e $dv = e^x\,dx$.
2. **Ache $du$ e $v$.** $du = dx$ e $v = e^x$.
3. **Aplique a fórmula.**
$$\int xe^x\,dx = xe^x - \int e^x\,dx$$
4. **Resolva a integral fácil.** $\int e^x\,dx = e^x$, então
$$\int xe^x\,dx = xe^x - e^x + C = (x-1)e^x + C$$

**Por que $u = x$?** O objetivo é uma integral restante mais simples. Derivar $x$ dá $1$, então o $x$ some depois de um passo. A regra LIATE (Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algébricas, Trigonométricas, Exponenciais) diz o mesmo: as algébricas vêm antes das exponenciais, então $x$ é o $u$.

**E se você escolher ao contrário?** Com $u = e^x$ e $dv = x\,dx$, você obtém $\frac{x^2}{2}e^x - \int\frac{x^2}{2}e^x\,dx$. A potência de $x$ subiu, então o problema piorou.

## Verificação por derivação

$$\frac{d}{dx}\Big((x-1)e^x\Big) = 1\cdot e^x + (x-1)e^x = xe^x$$

A [regra do produto](/rules/product-rule) devolve exatamente o integrando. A página da [derivada de x eˣ](/derivatives/x-e-to-the-x) mostra o sentido direto.

## Integrais definidas

**De 0 a 1:**

$$\int_0^1 xe^x\,dx = \Big[(x-1)e^x\Big]_0^1 = 0\cdot e - (-1)\cdot 1 = 1$$

**De −∞ a 0:** quando $x \to -\infty$, $(x-1)e^x \to 0$ porque a exponencial vence. Então

$$\int_{-\infty}^{0} xe^x\,dx = (0 - 1)e^0 - 0 = -1$$

A resposta é negativa porque $xe^x < 0$ para $x < 0$.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: uma exponencial mais rápida.** $\int xe^{2x}\,dx$. Seja $u = x$, $dv = e^{2x}\,dx$, então $v = \frac{1}{2}e^{2x}$:

$$\int xe^{2x}\,dx = \frac{x}{2}e^{2x} - \frac{1}{2}\int e^{2x}\,dx = \frac{x}{2}e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C$$

Em geral, $\int xe^{kx}\,dx = \left(\frac{x}{k} - \frac{1}{k^2}\right)e^{kx} + C$.

**Exemplo 2: decaimento.** Com $k = -1$, a fórmula geral dá $\int xe^{-x}\,dx = (-x - 1)e^{-x} + C = -(x+1)e^{-x} + C$. De $0$ a $\infty$ isso vale $0 - (-1) = 1$. Esse é o tempo médio de espera na distribuição exponencial de taxa $1$.

**Exemplo 3: um fator linear.** $\int(3x + 2)e^x\,dx$. Com $u = 3x + 2$, $du = 3\,dx$:

$$(3x+2)e^x - 3e^x + C = (3x - 1)e^x + C$$

**Exemplo 4: uma potência maior.** Para $x^2e^x$, use partes duas vezes. O resultado é $(x^2 - 2x + 2)e^x + C$, mostrado na página da [integral de x² eˣ](/integrals/x-squared-e-to-the-x).

## Erros comuns

1. **Integrar fator por fator.** $\int xe^x\,dx \ne \frac{x^2}{2}e^x$. A integral de um produto não é o produto das integrais.
2. **Escolher $u = e^x$.** A integral que sobra passa a ter $x^2$, o que é mais difícil.
3. **Um deslize de sinal no último passo.** É $xe^x - \int e^x\,dx$, então o termo $e^x$ é subtraído. Confira derivando.
4. **Esquecer o $\frac{1}{k}$ em $e^{kx}$.** Com $e^{2x}$, $v = \frac{1}{2}e^{2x}$, e não $e^{2x}$.

Para mais prática, veja o [guia de integração por partes](/blog/integration-by-parts) e os [exercícios de integração por partes](/practice-problems/integration-by-parts).

## Perguntas frequentes

### Qual é a integral de x eˣ?

É $(x - 1)e^x + C$, ou $xe^x - e^x + C$.

### Qual é a integral de x e^(2x)?

É $\frac{x}{2}e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C$. Use partes com $u = x$ e $dv = e^{2x}\,dx$, então $v = \frac{1}{2}e^{2x}$.

### Qual é a integral de x e^(−x)?

É $-(x+1)e^{-x} + C$. De $0$ a $\infty$ a integral vale $1$.

### Dá para usar substituição em x eˣ?

Não. Uma substituição exige que a derivada da função de dentro apareça como fator, e aqui não há função de dentro. É um produto de duas funções sem relação, exatamente o caso da integração por partes.