# Integral de x ln x: fórmula, passo a passo e exemplos

> A integral de x ln x é (x²/2) ln x − x²/4 + C. Veja a integração por partes com u = ln x passo a passo, a verificação, um gráfico e a fórmula de xⁿ ln x.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/integrais/integral-de-x-ln-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C $$

## Visão geral

- **Primitiva:** $\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$
- **Método:** Integração por partes com $u = \ln x$, $dv = x\,dx$
- **De 1 a e:** $\frac{e^2 + 1}{4} \approx 2.097$
- **De 0 a 1:** $-\frac{1}{4}$
- **Potência qualquer:** $\int x^n\ln x\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\ln x - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} + C$, $n \ne -1$

## Pontos principais

- A integral de $x\ln x$ é $\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$.
- Escolha $u = \ln x$, e não $u = x$. Não é fácil integrar $\ln x$, mas derivá-lo dá o simples $\frac{1}{x}$.
- O mesmo método funciona para qualquer potência: $\int x^n\ln x\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\ln x - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} + C$ para $n \ne -1$.
- Para $n = -1$, a integral $\int\frac{\ln x}{x}\,dx = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$ é uma substituição.

A **integral de $x\ln x$ é $\dfrac{x^2}{2}\ln x - \dfrac{x^2}{4} + C$**. É um produto de uma potência por um logaritmo, então a ferramenta é a integração por partes, com o logaritmo como $u$.

$$\int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$$

## Gráfico de x ln x com a área de 1 a e

```graph
title: 'y = x ln x com a área de 1 a e sombreada'
caption: 'A área sombreada é $\frac{e^2 + 1}{4} \approx 2.097$. Entre $0$ e $1$ a curva fica abaixo do eixo, e essa pequena região tem área com sinal $-\frac{1}{4}$.'
x: [-0.5, 3.5]
y: [-1, 4.5]
functions:
  - expr: x*ln(x)
    label: y = x ln x
    domain: [0.005, 3.5]
shade:
  expr: x*ln(x)
  from: 1
  to: 2.71828
points:
  - [1, 0, '(1, 0)']
  - [2.71828, 2.71828, '(e, e)']
```

## Como integrar x ln x passo a passo

Use a [integração por partes](/rules/integration-by-parts-rule): $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.

1. **Escolha as partes.** $u = \ln x$ e $dv = x\,dx$. Os logaritmos vêm primeiro na regra LIATE.
2. **Ache $du$ e $v$.** $du = \frac{1}{x}\,dx$ e $v = \frac{x^2}{2}$.
3. **Aplique a fórmula.**
$$\int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x\,dx$$
4. **Termine.** $\frac{1}{2}\int x\,dx = \frac{x^2}{4}$, então
$$\int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$$

O momento-chave é o passo 3: o $\frac{1}{x}$ de $du$ cancela uma potência de $x$ de $v$, deixando uma potência simples. Isso sempre acontece com um logaritmo como $u$.

## Verificação por derivação

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}\right) = x\ln x + \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x} - \frac{x}{2} = x\ln x + \frac{x}{2} - \frac{x}{2} = x\ln x$$

A página da [derivada de x ln x](/derivatives/x-ln-x) traz o cálculo no sentido direto.

## Integrais definidas

**De 1 a e:**

$$\left[\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}\right]_1^e = \left(\frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4}\right) - \left(0 - \frac{1}{4}\right) = \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^2+1}{4}$$

Isso dá cerca de $2.097$.

**De 0 a 1:** ela é [imprópria](/blog/improper-integrals) em $0$ porque $\ln x$ não está definido ali, mas $x^2\ln x \to 0$ quando $x \to 0^+$:

$$\int_0^1 x\ln x\,dx = \left(0 - \frac{1}{4}\right) - 0 = -\frac{1}{4}$$

## A potência geral xⁿ ln x

Os mesmos passos com $dv = x^n\,dx$ e $v = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ dão

$$\int x^n\ln x\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\ln x - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} + C, \qquad n \ne -1$$

| Integral | Resposta |
| --- | --- |
| $\int\ln x\,dx$ ($n = 0$) | $x\ln x - x + C$ |
| $\int x^2\ln x\,dx$ | $\frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} + C$ |
| $\int\sqrt{x}\ln x\,dx$ | $\frac{2}{3}x^{3/2}\ln x - \frac{4}{9}x^{3/2} + C$ |
| $\int\frac{\ln x}{x^2}\,dx$ ($n = -2$) | $-\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} + C$ |

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: um cubo.** $\int x^3\ln x\,dx = \frac{x^4}{4}\ln x - \frac{x^4}{16} + C$, pela fórmula geral com $n = 3$.

**Exemplo 2: logaritmo de uma potência.** $\int x\ln(x^2)\,dx$. Use $\ln(x^2) = 2\ln x$ para $x > 0$:

$$2\int x\ln x\,dx = x^2\ln x - \frac{x^2}{2} + C$$

**Exemplo 3: o caso n = −1.** $\int\frac{\ln x}{x}\,dx$ quebra a fórmula (ela dividiria por zero). Use $u = \ln x$, $du = \frac{dx}{x}$: $\int u\,du = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$.

**Exemplo 4: logaritmo ao quadrado.** $\int x(\ln x)^2\,dx$. Partes com $u = (\ln x)^2$, $dv = x\,dx$ dá $\frac{x^2}{2}(\ln x)^2 - \int x\ln x\,dx$, que você já conhece:

$$\frac{x^2}{2}(\ln x)^2 - \frac{x^2}{2}\ln x + \frac{x^2}{4} + C$$

## Erros comuns

1. **Escolher $u = x$.** Aí $v$ exige $\int\ln x\,dx$, e a integral que sobra fica mais difícil que a original.
2. **Esquecer de simplificar $\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}$.** Isso é $\frac{x}{2}$, cuja integral é $\frac{x^2}{4}$, e não $\frac{x^2}{2}$.
3. **Integrar os fatores separadamente.** $\frac{x^2}{2}(x\ln x - x)$ não é a resposta.
4. **Usar a fórmula geral com $n = -1$.** Veja o Exemplo 3.

Páginas relacionadas: a [integral de ln x](/integrals/ln-x), a [integral de x eˣ](/integrals/x-e-to-the-x) e o [guia de integração por partes](/blog/integration-by-parts).

## Perguntas frequentes

### Qual é a integral de x ln x?

É $\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$, que também pode ser escrita $\frac{x^2}{4}(2\ln x - 1) + C$.

### Qual é a integral de x² ln x?

É $\frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} + C$. Use partes com $u = \ln x$ e $dv = x^2\,dx$.

### Qual é a integral de x ln x de 0 a 1?

É $-\frac{1}{4}$. No limite inferior, $\frac{x^2}{2}\ln x \to 0$ quando $x \to 0^+$, então só sobra o $-\frac{1}{4}$ do limite superior.

### Por que escolher u = ln x e não u = x?

Com $u = x$ você precisaria de $v = \int\ln x\,dx = x\ln x - x$, e a integral que sobra fica mais complicada. Com $u = \ln x$, $du = \frac{1}{x}dx$ cancela uma potência de $x$ e deixa uma potência simples para integrar.