# Integral de x sen x: fórmula, passo a passo e exemplos

> A integral de x sen x é sen x − x cos x + C. Veja a integração por partes passo a passo, a verificação por derivação, um gráfico e exemplos como x² sen x.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/integrais/integral-de-x-sen-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \int x\sin x\,dx = \sin x - x\cos x + C $$

## Visão geral

- **Primitiva:** $\sin x - x\cos x + C$
- **Método:** Integração por partes com $u = x$, $dv = \sin x\,dx$
- **De 0 a π:** $\pi$
- **De 0 a π/2:** $1$
- **Com sen(kx):** $\int x\sin kx\,dx = -\frac{x}{k}\cos kx + \frac{1}{k^2}\sin kx + C$

## Pontos principais

- A integral de $x\sin x$ é $\sin x - x\cos x + C$.
- Use integração por partes com $u = x$ e $dv = \sin x\,dx$, então $v = -\cos x$.
- Cuidado com os sinais: $v = -\cos x$, e subtrair $\int -\cos x\,dx$ dá $+\sin x$.
- Os arcos de $x\sin x$ têm áreas $\pi$, $3\pi$, $5\pi$ e assim por diante, com sinais alternados.

A **integral de $x\sin x$ é $\sin x - x\cos x + C$**. É uma potência de $x$ vezes uma função trigonométrica, um problema clássico de integração por partes.

$$\int x\sin x\,dx = \sin x - x\cos x + C$$

## Gráfico de x sen x

```graph
title: 'y = x sen x com a área de 0 a π sombreada'
caption: 'O arco sombreado tem área exatamente $\pi$. O arco seguinte, de $\pi$ a $2\pi$, fica abaixo do eixo com área com sinal $-3\pi$, e cada arco posterior cresce $2\pi$.'
x: [-1, 7]
y: [-5.5, 3]
functions:
  - expr: x*sin(x)
    label: y = x sen x
shade:
  expr: x*sin(x)
  from: 0
  to: 3.14159
points:
  - [3.14159, 0, '(π, 0)']
  - [6.28319, 0, '(2π, 0)']
```

## Como integrar x sen x passo a passo

A fórmula da [integração por partes](/rules/integration-by-parts-rule) é $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.

1. **Escolha as partes.** $u = x$ e $dv = \sin x\,dx$. Na regra LIATE, as algébricas vêm antes das trigonométricas.
2. **Ache $du$ e $v$.** $du = dx$ e $v = -\cos x$, pela [integral de sen x](/integrals/sin-x).
3. **Aplique a fórmula.**
$$\int x\sin x\,dx = x(-\cos x) - \int(-\cos x)\,dx = -x\cos x + \int\cos x\,dx$$
4. **Termine.** $\int\cos x\,dx = \sin x$, então
$$\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \sin x + C$$

Se você escolher $u = \sin x$ e $dv = x\,dx$, a integral que sobra é $\int\frac{x^2}{2}\cos x\,dx$, com uma potência maior. Esse é o sinal para trocar.

## Verificação por derivação

$$\frac{d}{dx}\left(\sin x - x\cos x\right) = \cos x - \left(\cos x - x\sin x\right) = x\sin x$$

Os termos com $\cos x$ se cancelam, e a [regra do produto](/rules/product-rule) aplicada a $x\cos x$ fornece o $x\sin x$.

## Integrais definidas

Seja $F(x) = \sin x - x\cos x$.

| Integral | Cálculo | Valor |
| --- | --- | --- |
| $\int_0^{\pi/2} x\sin x\,dx$ | $F\!\left(\frac{\pi}{2}\right) - F(0) = 1 - 0$ | $1$ |
| $\int_0^{\pi} x\sin x\,dx$ | $F(\pi) - F(0) = \pi - 0$ | $\pi$ |
| $\int_\pi^{2\pi} x\sin x\,dx$ | $F(2\pi) - F(\pi) = -2\pi - \pi$ | $-3\pi$ |
| $\int_0^{2\pi} x\sin x\,dx$ | $F(2\pi) - F(0)$ | $-2\pi$ |

Em geral, o arco de $k\pi$ a $(k+1)\pi$ tem área $(2k+1)\pi$, com sinal $(-1)^k$. A área total (sem sinal) de $0$ a $2\pi$ é $\pi + 3\pi = 4\pi$.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: ângulo multiplicado.** $\int x\sin 2x\,dx$. Com $u = x$, $dv = \sin 2x\,dx$, $v = -\frac{1}{2}\cos 2x$:

$$-\frac{x}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}\int\cos 2x\,dx = -\frac{x}{2}\cos 2x + \frac{1}{4}\sin 2x + C$$

**Exemplo 2: x ao quadrado, com o método tabular.** Para $\int x^2\sin x\,dx$, derive $x^2$ até chegar a $0$ e integre $\sin x$ ao lado, com sinais alternados:

| Sinal | Derivar | Integrar |
| --- | --- | --- |
| $+$ | $x^2$ | $\sin x$ |
| $-$ | $2x$ | $-\cos x$ |
| $+$ | $2$ | $-\sin x$ |
| | $0$ | $\cos x$ |

Multiplique ao longo das diagonais:

$$\int x^2\sin x\,dx = -x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C$$

**Exemplo 3: um volume.** Girando o primeiro arco de $y = \sin x$ (de $0$ a $\pi$) em torno do eixo $y$, o método das cascas cilíndricas dá

$$V = 2\pi\int_0^\pi x\sin x\,dx = 2\pi\cdot\pi = 2\pi^2$$

Veja o [guia de volumes de revolução](/blog/volumes-of-revolution) para a montagem.

**Exemplo 4: ângulo deslocado.** $\int x\sin(x + 1)\,dx = \sin(x+1) - x\cos(x+1) + C$, já que a expressão de dentro tem inclinação $1$.

## Erros comuns

1. **Errar o $v$.** $\int\sin x\,dx = -\cos x$, e não $\cos x$. A maioria dos erros neste problema é de sinal.
2. **Perder o duplo negativo.** $-\int(-\cos x)\,dx = +\int\cos x\,dx$.
3. **Escolher $u = \sin x$.** A integral que sobra passa a ter $x^2$.
4. **Esquecer $\frac{1}{k}$ e $\frac{1}{k^2}$** com $\sin kx$. Derive sua resposta para conferir.

Compare com a [integral de x cos x](/integrals/x-cos-x), que tem os mesmos passos com sinais diferentes. Mais prática no [guia de integração por partes](/blog/integration-by-parts).

## Perguntas frequentes

### Qual é a integral de x sen x?

É $\sin x - x\cos x + C$.

### Qual é a integral de x sen x de 0 a π?

É $\pi$. A primitiva vale $\sin\pi - \pi\cos\pi = \pi$ no limite superior e $0$ no inferior.

### Qual é a integral de x² sen x?

É $-x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C$. Use partes duas vezes, ou o método tabular.

### Qual é a integral de x sen(2x)?

É $-\frac{x}{2}\cos 2x + \frac{1}{4}\sin 2x + C$. Use partes com $u = x$ e $v = -\frac{1}{2}\cos 2x$.