# Integral de x/(x² + 1): fórmula, passo a passo e exemplos

> A integral de x/(x² + 1) é ½ ln(x² + 1) + C. Veja a substituição passo a passo, por que o módulo não é necessário e integrais parecidas como 1/(x² + 1).

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/integrais/integral-de-x-sobre-x2-mais-1
Atualizado: 2026-11-06

$$ \int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) + C $$

## Visão geral

- **Primitiva:** $\dfrac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) + C$
- **Método:** Substituição com $u = x^2 + 1$
- **Módulo:** Não é necessário, pois $x^2 + 1 > 0$
- **Intervalo simétrico:** $\int_{-a}^{a}\dfrac{x}{x^2 + 1}\,dx = 0$
- **Compare:** $\int \dfrac{1}{x^2 + 1}\,dx = \arctan x + C$

## Pontos principais

- A integral de $\frac{x}{x^2 + 1}$ é $\frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C$.
- O numerador $x$ é metade da derivada do denominador, então substitua $u = x^2 + 1$.
- O módulo não é necessário porque $x^2 + 1$ é sempre positivo.
- Não confunda com $\int\frac{1}{x^2 + 1}\,dx = \arctan x + C$, que não tem $x$ no numerador.

A **integral de $\dfrac{x}{x^2 + 1}$ é $\dfrac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) + C$**. É o exemplo clássico de livro de uma [substituição (mudança de variável)](/rules/u-substitution-rule) que resulta num logaritmo.

$$\int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) + C$$

## Gráfico de x/(x² + 1) e de sua primitiva

```graph
title: 'Área sob y = x/(x² + 1) de 0 a 2, com a primitiva y = ½ ln(x² + 1)'
caption: 'A área sombreada é $\frac{1}{2}\ln 5 \approx 0.805$. A função é ímpar e sua primitiva é par: a curva tracejada é simétrica em relação ao eixo $y$, com mínimo em $x = 0$.'
x: [-4, 4]
y: [-1, 1.6]
functions:
  - expr: x/(x^2 + 1)
    label: y = x/(x² + 1)
  - expr: ln(x^2 + 1)/2
    label: y = ½ ln(x² + 1) (primitiva)
    dashed: true
shade: {expr: x/(x^2 + 1), from: 0, to: 2}
points:
  - [1, 0.5, 'máx. (1, 1/2)']
```

## A substituição, passo a passo

1. Perceba que a derivada do denominador, $2x$, coincide com o numerador a menos de uma constante.
2. Seja $u = x^2 + 1$. Então $du = 2x\,dx$, logo $x\,dx = \frac{1}{2}du$.
3. Reescreva: $\displaystyle\int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\int\frac{1}{u}\,du$.
4. Integre com a [integral de 1/x](/integrals/1-over-x): $\frac{1}{2}\ln\lvert u\rvert + C$.
5. Volte à variável original: $\frac{1}{2}\ln\lvert x^2 + 1\rvert + C$.
6. Como $x^2 + 1 \ge 1 > 0$, tire as barras: $\frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C$.

O padrão geral é $\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln\lvert f(x)\rvert + C$. Aqui o numerador é $\frac{1}{2}f'(x)$, o que gera o fator $\frac{1}{2}$.

## Verificação por derivação

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}\ln(x^2 + 1)\right] = \frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{x^2 + 1} = \frac{x}{x^2 + 1} \checkmark$$

## Integrais definidas

**Exemplo 1.** $\int_0^1 \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln 2 \approx 0.347$.

**Exemplo 2.** $\int_{-3}^{3}\frac{x}{x^2 + 1}\,dx = 0$. O integrando é ímpar, então a área à esquerda cancela a área à direita.

**Exemplo 3: mudando os limites.** Com $u = x^2 + 1$, os limites $x = 0$ e $x = 2$ viram $u = 1$ e $u = 5$:

$$\int_0^2 \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\int_1^5\frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln 5$$

## Integrais relacionadas

Pequenas mudanças no integrando mudam completamente o método:

| Integral | Método | Resposta |
| --- | --- | --- |
| $\int\frac{x}{x^2 + 1}\,dx$ | $u = x^2 + 1$ | $\frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C$ |
| $\int\frac{1}{x^2 + 1}\,dx$ | fórmula conhecida | $\arctan x + C$ |
| $\int\frac{x}{(x^2 + 1)^2}\,dx$ | $u = x^2 + 1$ | $-\frac{1}{2(x^2 + 1)} + C$ |
| $\int\frac{x}{x^2 + a^2}\,dx$ | $u = x^2 + a^2$ | $\frac{1}{2}\ln(x^2 + a^2) + C$ |
| $\int\frac{x^3}{x^2 + 1}\,dx$ | dividir antes | $\frac{x^2}{2} - \frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C$ |

Na última linha, a divisão de polinômios dá $\frac{x^3}{x^2 + 1} = x - \frac{x}{x^2 + 1}$.

**Exemplo 4: separe o numerador.** 

$$\int\frac{2x + 3}{x^2 + 1}\,dx = \int\frac{2x}{x^2 + 1}\,dx + 3\int\frac{1}{x^2 + 1}\,dx = \ln(x^2 + 1) + 3\arctan x + C$$

A segunda parte usa a [integral de 1/(1 + x²)](/integrals/1-over-1-plus-x-squared).

## Erros comuns

1. **Esquecer o $\frac{1}{2}$.** $du = 2x\,dx$, então $x\,dx$ é só metade de $du$.
2. **Responder $\arctan x$.** Essa é a integral de $\frac{1}{x^2 + 1}$, sem o $x$ no numerador.
3. **Escrever $\ln\lvert x\rvert\cdot\ln\lvert x^2 + 1\rvert$** ou separar a fração como $\frac{x}{x^2} + \frac{x}{1}$. Não se separa uma fração quando a soma está no denominador.
4. **Integrar $\frac{x}{x^2 - 1}$ do mesmo jeito e tirar as barras.** Essa dá $\frac{1}{2}\ln\lvert x^2 - 1\rvert + C$, e o módulo faz diferença.

Mais prática: [exercícios de substituição](/practice-problems/u-substitution).

## Perguntas frequentes

### Qual é a integral de x/(x² + 1)?

É $\frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C$. Use $u = x^2 + 1$, de modo que $x\,dx = \frac{1}{2}du$.

### Qual é a integral de 2x/(x² + 1)?

É $\ln(x^2 + 1) + C$. O numerador é exatamente a derivada do denominador, então a resposta é o logaritmo do denominador.

### Qual é a integral de x/(x² + 1) de 0 a 1?

É $\frac{1}{2}\ln 2 - \frac{1}{2}\ln 1 = \frac{1}{2}\ln 2 \approx 0.347$.

### A integral de x/(x² + 1) de 0 ao infinito converge?

Não. $\frac{1}{2}\ln(b^2 + 1) \to \infty$ quando $b \to \infty$, então a integral diverge. Para $x$ grande, o integrando se comporta como $\frac{1}{x}$.