# Integral de x: fórmula, dedução e exemplos

> A integral de x é x²/2 + C. Entenda o porquê com a regra da potência inversa e um triângulo, além de integrais definidas, a forma ax + b e erros comuns.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/integrais/integral-de-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C $$

## Visão geral

- **Primitiva:** $\dfrac{x^2}{2} + C$
- **Regra usada:** Regra da potência inversa com $n = 1$
- **Forma definida:** $\int_0^b x\,dx = \dfrac{b^2}{2}$
- **Intervalo simétrico:** $\int_{-a}^{a} x\,dx = 0$
- **Verificação:** $\dfrac{d}{dx}\dfrac{x^2}{2} = x$

## Pontos principais

- A integral de $x$ é $\frac{x^2}{2} + C$: aumente o expoente em um e divida pelo novo expoente.
- A área sob $y = x$ de $0$ a $b$ é um triângulo de área $\frac{b^2}{2}$, o que confere com a fórmula.
- A integral de $2x$ é $x^2 + C$, porque o $2$ cancela a divisão por $2$.
- Num intervalo simétrico como $[-1, 1]$ a integral de $x$ é $0$: a área abaixo do eixo cancela a área acima.

A **integral de $x$ é $\dfrac{x^2}{2} + C$**. Ela sai direto da regra da potência inversa: some um ao expoente e depois divida pelo novo expoente.

$$\int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C$$

## Gráfico de y = x e de sua primitiva

```graph
title: 'Área sob y = x de 0 a 2, com a primitiva y = x²/2'
caption: 'O triângulo sombreado tem base $2$ e altura $2$, então sua área é $2$. A curva tracejada $y = \frac{x^2}{2}$ chega exatamente a $2$ em $x = 2$.'
x: [-2.5, 3]
y: [-2.5, 4]
functions:
  - expr: x
    label: y = x
  - expr: x^2/2
    label: y = x²/2 (primitiva)
    dashed: true
shade: {expr: x, from: 0, to: 2}
points:
  - [2, 2, '(2, 2)']
```

A primitiva $\frac{x^2}{2}$ é uma parábola. Sua inclinação em cada ponto é igual à altura da reta $y = x$: inclinação $0$ na origem, inclinação $2$ em $x = 2$ e inclinações negativas para $x$ negativo.

## Dedução, passo a passo

1. Escreva $x$ como potência: $x = x^1$.
2. Aplique a [regra da potência inversa](/rules/reverse-power-rule), $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, com $n = 1$.
3. Some um ao expoente: $x^{2}$.
4. Divida pelo novo expoente: $\frac{x^2}{2}$.
5. Some a constante: $\frac{x^2}{2} + C$.

Também existe uma prova visual. A região sob $y = x$ de $0$ a $b$ é um triângulo retângulo de base $b$ e altura $b$, então sua área é $\frac{1}{2}b\cdot b = \frac{b^2}{2}$. A função área é $\frac{x^2}{2}$, que é exatamente a primitiva.

## Verificação por derivação

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2} + C\right) = \frac{2x}{2} + 0 = x \checkmark$$

O sentido direto está na página da [derivada de x](/derivatives/x).

## Integrais definidas

$$\int_a^b x\,dx = \frac{b^2}{2} - \frac{a^2}{2} = \frac{b^2 - a^2}{2}$$

Por exemplo, $\int_1^3 x\,dx = \frac{9 - 1}{2} = 4$. Essa região é um trapézio com lados paralelos $1$ e $3$ e largura $2$, e sua área é $\frac{1 + 3}{2}\cdot 2 = 4$. Mesma resposta.

Quando o intervalo passa pelo $0$, a área abaixo do eixo conta como negativa: $\int_{-1}^{1} x\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$.

## A versão linear: integral de ax + b

Para uma reta $ax + b$ você pode integrar termo a termo:

$$\int (ax + b)\,dx = \frac{ax^2}{2} + bx + C$$

Com uma [substituição (mudança de variável)](/rules/u-substitution-rule), $u = ax + b$, você obtém uma segunda forma:

$$\int (ax + b)\,dx = \frac{(ax + b)^2}{2a} + C$$

As duas estão corretas. Expandindo a segunda, obtemos $\frac{ax^2}{2} + bx + \frac{b^2}{2a}$, que difere da primeira só pela constante $\frac{b^2}{2a}$.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1.** $\int 6x\,dx = 6\cdot\frac{x^2}{2} + C = 3x^2 + C$.

**Exemplo 2.** $\int (4x - 5)\,dx = 2x^2 - 5x + C$. O $-5$ usa a [integral de uma constante](/integrals/constant).

**Exemplo 3.** $\int_0^4 \frac{x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{16}{2} = 4$.

**Exemplo 4: valor médio.** O valor médio de $f(x) = x$ em $[0, 6]$ é $\frac{1}{6}\int_0^6 x\,dx = \frac{1}{6}\cdot 18 = 3$, o ponto médio, como era de se esperar para uma reta.

## Erros comuns

1. **Escrever $x^2 + C$.** É preciso dividir pelo novo expoente. A derivada de $x^2$ é $2x$, e não $x$.
2. **Obter $1$.** Isso é a derivada de $x$, e não sua integral.
3. **Esquecer o $+ C$** numa integral indefinida.
4. **Esperar que a área seja positiva.** Uma integral definida dá a área com sinal. Use $\int\lvert x\rvert\,dx$ se quiser a área total; veja a [integral de |x|](/integrals/absolute-value-of-x).

Continue com a [integral de x²](/integrals/x-squared) ou pratique com [exercícios de primitivas](/practice-problems/antiderivatives).

## Perguntas frequentes

### Qual é a integral de x?

A integral de $x$ é $\frac{x^2}{2} + C$. Confira: a derivada de $\frac{x^2}{2}$ é $\frac{2x}{2} = x$.

### Qual é a integral de 2x?

É $x^2 + C$. Tire o $2$ para fora: $2\cdot\frac{x^2}{2} = x^2$.

### Qual é a integral de x de 0 a 1?

É $\frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2}$. Essa é a área de um triângulo retângulo com catetos $1$ e $1$.

### Por que a integral de x de -1 a 1 é igual a zero?

Porque $y = x$ é uma função ímpar. O triângulo abaixo do eixo em $[-1, 0]$ tem área com sinal $-\frac{1}{2}$ e cancela o triângulo acima do eixo em $[0, 1]$.