# Integral de x² eˣ: fórmula, passo a passo e exemplos

> A integral de x² eˣ é (x² − 2x + 2)eˣ + C. Veja a integração por partes duas vezes, o atalho tabular, a verificação, um gráfico e o padrão de xⁿ eˣ.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/integrais/integral-de-x2-e-elevado-a-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \int x^2 e^x\,dx = (x^2 - 2x + 2)e^x + C $$

## Visão geral

- **Primitiva:** $(x^2 - 2x + 2)e^x + C$
- **Método:** Integração por partes duas vezes, ou o método tabular
- **De 0 a 1:** $e - 2 \approx 0.718$
- **Com e^(−x), de 0 a ∞:** $\int_0^\infty x^2e^{-x}\,dx = 2$
- **Padrão:** $\int x^3e^x\,dx = (x^3 - 3x^2 + 6x - 6)e^x + C$

## Pontos principais

- A integral de $x^2e^x$ é $(x^2 - 2x + 2)e^x + C$.
- Use integração por partes duas vezes com a potência de $x$ como $u$. Cada passada reduz a potência em um.
- O método tabular faz as duas passadas de uma vez: derive $x^2$ até zerar, integre $e^x$ e alterne os sinais.
- O padrão continua: $\int_0^\infty x^n e^{-x}\,dx = n!$.

A **integral de $x^2e^x$ é $(x^2 - 2x + 2)e^x + C$**. Ela exige integração por partes duas vezes e é o exemplo padrão do método tabular.

$$\int x^2e^x\,dx = (x^2 - 2x + 2)e^x + C$$

## Gráfico de x² eˣ e de sua primitiva

```graph
title: 'y = x² eˣ e sua primitiva (x² − 2x + 2)eˣ'
caption: 'A área sombreada de $0$ a $1$ é $e - 2 \approx 0.718$. A primitiva tracejada é sempre crescente, porque $x^2e^x \ge 0$ para todo $x$.'
x: [-5, 1.5]
y: [-0.5, 5]
functions:
  - expr: x^2*e^x
    label: y = x² eˣ
  - expr: (x^2 - 2x + 2)*e^x
    label: y = (x² − 2x + 2)eˣ (primitiva)
    dashed: true
shade:
  expr: x^2*e^x
  from: 0
  to: 1
points:
  - [0, 2, '(0, 2)']
  - [1, 2.718, '(1, e)']
```

## Como integrar x² eˣ passo a passo

Use a [integração por partes](/rules/integration-by-parts-rule), $\int u\,dv = uv - \int v\,du$, com a potência de $x$ como $u$ em cada passada.

1. **Primeira passada.** $u = x^2$, $dv = e^x\,dx$, então $du = 2x\,dx$ e $v = e^x$:
$$\int x^2e^x\,dx = x^2e^x - 2\int xe^x\,dx$$
2. **Segunda passada.** Você já sabe que $\int xe^x\,dx = (x-1)e^x$, pela [integral de x eˣ](/integrals/x-e-to-the-x). Se não souber, use $u = x$, $dv = e^x\,dx$ de novo.
3. **Junte.**
$$x^2e^x - 2(x - 1)e^x + C = (x^2 - 2x + 2)e^x + C$$

## O atalho tabular

Quando um fator chega a zero ao ser derivado e o outro é fácil de integrar repetidas vezes, monte uma tabela. Derive $x^2$ na coluna da esquerda, integre $e^x$ na da direita e coloque sinais alternados:

| Sinal | Derivar | Integrar |
| --- | --- | --- |
| $+$ | $x^2$ | $e^x$ |
| $-$ | $2x$ | $e^x$ |
| $+$ | $2$ | $e^x$ |
| | $0$ | $e^x$ |

Multiplique cada entrada da esquerda pela entrada da direita uma linha abaixo, usando o sinal da linha da esquerda:

$$+x^2e^x - 2xe^x + 2e^x = (x^2 - 2x + 2)e^x$$

A lição de [partes repetidas e LIATE](/learn/calculus-2/integration-techniques/repeated-parts-and-liate) pratica esse método.

## Verificação por derivação

$$\frac{d}{dx}\Big[(x^2 - 2x + 2)e^x\Big] = (2x - 2)e^x + (x^2 - 2x + 2)e^x = x^2e^x$$

Tudo se cancela, exceto $x^2$. Um bom jeito de lembrar a resposta: o polinômio $p(x) = x^2 - 2x + 2$ satisfaz $p + p' = x^2$.

## Integrais definidas

**De 0 a 1:**

$$\Big[(x^2 - 2x + 2)e^x\Big]_0^1 = (1)e - (2)(1) = e - 2 \approx 0.718$$

**De −∞ a 0:** quando $x \to -\infty$, $(x^2 - 2x + 2)e^x \to 0$, então a integral é $2 - 0 = 2$.

**Com uma exponencial decrescente.** $\int x^2e^{-x}\,dx = -(x^2 + 2x + 2)e^{-x} + C$, então

$$\int_0^\infty x^2e^{-x}\,dx = 0 - (-2) = 2 = 2!$$

Esse é um caso do resultado da função Gama, $\int_0^\infty x^ne^{-x}\,dx = n!$. Veja [integrais impróprias](/blog/improper-integrals) para entender por que o limite no infinito é $0$.

## O padrão xⁿ eˣ

Cada potência a mais de $x$ acrescenta uma linha à tabela:

| Integral | Resposta |
| --- | --- |
| $\int e^x\,dx$ | $e^x + C$ |
| $\int xe^x\,dx$ | $(x - 1)e^x + C$ |
| $\int x^2e^x\,dx$ | $(x^2 - 2x + 2)e^x + C$ |
| $\int x^3e^x\,dx$ | $(x^3 - 3x^2 + 6x - 6)e^x + C$ |

O polinômio é $x^n$ menos sua derivada, mais sua segunda derivada e assim por diante, com sinais alternados.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: uma exponencial mais rápida.** $\int x^2e^{2x}\,dx$. No método tabular, a coluna da direita é $e^{2x}, \frac{1}{2}e^{2x}, \frac{1}{4}e^{2x}, \frac{1}{8}e^{2x}$:

$$\frac{x^2}{2}e^{2x} - \frac{2x}{4}e^{2x} + \frac{2}{8}e^{2x} + C = \left(\frac{x^2}{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\right)e^{2x} + C$$

**Exemplo 2: um polinômio de grau 2.** $\int(x^2 + 1)e^x\,dx$. Aqui $p = x^2 + 1$, e o padrão dá $(p - p' + p'')e^x = (x^2 + 1 - 2x + 2)e^x = (x^2 - 2x + 3)e^x + C$.

**Exemplo 3: uma substituição antes.** $\int x^3e^{x^2}\,dx$. Seja $w = x^2$, $dw = 2x\,dx$, então a integral é $\frac{1}{2}\int we^w\,dw = \frac{1}{2}(x^2 - 1)e^{x^2} + C$.

## Erros comuns

1. **Parar depois de uma passada.** $x^2e^x - 2\int xe^x\,dx$ ainda tem uma integral.
2. **Perder o fator 2.** A primeira passada traz $2x$, e o $2$ multiplica todo o segundo resultado.
3. **Sinais errados na tabela.** Os sinais alternam $+, -, +$ a partir da primeira linha.
4. **Escolher $u = e^x$.** A potência de $x$ sobe em vez de descer.

Mais prática: os [exercícios de integração por partes](/practice-problems/integration-by-parts).

## Perguntas frequentes

### Qual é a integral de x² eˣ?

É $(x^2 - 2x + 2)e^x + C$, que expandida fica $x^2e^x - 2xe^x + 2e^x + C$.

### Qual é a integral de x² e^(−x)?

É $-(x^2 + 2x + 2)e^{-x} + C$. De $0$ a $\infty$ ela vale $2$.

### Quantas vezes se usa integração por partes em x² eˣ?

Duas. A primeira passada transforma $x^2$ em $2x$, e a segunda transforma $2x$ em $2$. Depois disso só sobra $\int e^x\,dx$.

### Qual é a integral de x³ eˣ?

É $(x^3 - 3x^2 + 6x - 6)e^x + C$. Use o método tabular com as três derivadas não nulas de $x^3$.