# Integral de |x| (módulo de x): fórmula, dedução e exemplos

> A integral de |x| é x|x|/2 + C. Veja como separar no zero, por que a resposta não é |x²/2| e como calcular integrais definidas como |x - 1| de 0 a 4.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/integrais/integral-do-modulo-de-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \int \lvert x\rvert\,dx = \frac{x\lvert x\rvert}{2} + C $$

## Visão geral

- **Primitiva:** $\dfrac{x\lvert x\rvert}{2} + C$
- **Para x ≥ 0:** $\dfrac{x^2}{2} + C$
- **Para x < 0:** $-\dfrac{x^2}{2} + C$
- **Intervalo simétrico:** $\int_{-a}^{a}\lvert x\rvert\,dx = a^2$
- **Verificação:** $\dfrac{d}{dx}\dfrac{x\lvert x\rvert}{2} = \lvert x\rvert$

## Pontos principais

- A integral de $\lvert x\rvert$ é $\frac{x\lvert x\rvert}{2} + C$.
- Em integrais definidas, divida o intervalo onde a expressão dentro do módulo troca de sinal.
- $\int_{-a}^{a}\lvert x\rvert\,dx = a^2$, dois triângulos de área $\frac{a^2}{2}$ cada.
- $\frac{x^2}{2} + C$ só está certo para $x \ge 0$. Para $x < 0$ é preciso $-\frac{x^2}{2}$.

A **integral de $\lvert x\rvert$ é $\dfrac{x\lvert x\rvert}{2} + C$**. Como $\lvert x\rvert$ é definida em duas partes, o jeito mais limpo de achar sua integral é integrar cada parte e depois juntá-las.

$$\int \lvert x\rvert\,dx = \frac{x\lvert x\rvert}{2} + C$$

## Gráfico de |x| e de sua primitiva

```graph
title: 'Área sob y = |x| de -1 a 2, com a primitiva y = x|x|/2'
caption: 'A região sombreada são dois triângulos de áreas $\frac{1}{2}$ e $2$, num total de $\frac{5}{2}$. A primitiva tracejada é $-\frac{x^2}{2}$ à esquerda e $\frac{x^2}{2}$ à direita.'
x: [-2.5, 2.5]
y: [-2.5, 3]
functions:
  - expr: abs(x)
    label: y = |x|
  - expr: x*abs(x)/2
    label: y = x|x|/2 (primitiva)
    dashed: true
shade: {expr: abs(x), from: -1, to: 2}
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
```

A primitiva é sempre crescente, já que $\lvert x\rvert \ge 0$. Ela tem um ponto de tangente horizontal na origem, onde $\lvert x\rvert = 0$, e é suave ali, embora $\lvert x\rvert$ tenha um bico.

## Dedução, parte por parte

1. Separe a função: $\lvert x\rvert = x$ para $x \ge 0$ e $\lvert x\rvert = -x$ para $x < 0$.
2. Integre cada parte com a [integral de x](/integrals/x): $\frac{x^2}{2}$ à direita e $-\frac{x^2}{2}$ à esquerda.
3. Faça as partes se encontrarem em $x = 0$. As duas valem $0$ ali, então não é preciso nenhuma constante extra.
4. Escreva as duas partes numa só fórmula. Como $x\lvert x\rvert = x^2$ para $x \ge 0$ e $x\lvert x\rvert = -x^2$ para $x < 0$, a primitiva é $\frac{x\lvert x\rvert}{2}$.
5. Some $C$.

Também dá para escrever a resposta como $\frac{x^2}{2}\operatorname{sgn}(x) + C$, em que $\operatorname{sgn}(x)$ é o sinal de $x$.

## Verificação por derivação

Para $x > 0$: $\frac{d}{dx}\frac{x^2}{2} = x = \lvert x\rvert$. Para $x < 0$: $\frac{d}{dx}\left(-\frac{x^2}{2}\right) = -x = \lvert x\rvert$. Em $x = 0$ as duas inclinações laterais valem $0$, então a derivada é $0 = \lvert 0\rvert$. A verificação funciona em todo ponto. Compare com a [derivada de |x|](/derivatives/absolute-value-of-x), que não existe em $0$.

## Integrais definidas: separe onde o sinal muda

Numa integral definida raramente você precisa da fórmula da primitiva. Divida o intervalo onde a expressão entre as barras se anula e use as [propriedades da integral definida](/rules/definite-integral-properties).

**Exemplo 1.** $\int_{-2}^{3}\lvert x\rvert\,dx = \int_{-2}^{0}(-x)\,dx + \int_{0}^{3}x\,dx = 2 + \frac{9}{2} = \frac{13}{2}$.

**Exemplo 2.** $\int_{-a}^{a}\lvert x\rvert\,dx = a^2$ para qualquer $a > 0$. A função é par, então isso é o dobro de $\int_0^a x\,dx = \frac{a^2}{2}$.

**Exemplo 3: expressão deslocada.** Em $\int_0^4\lvert x - 1\rvert\,dx$, a expressão interna se anula em $x = 1$:

$$\int_0^1 (1 - x)\,dx + \int_1^4 (x - 1)\,dx = \frac{1}{2} + \frac{9}{2} = 5$$

**Exemplo 4: distância total.** Se a velocidade é $v(t) = t - 2$ em $[0, 5]$, o deslocamento é $\int_0^5 (t - 2)\,dt = \frac{5}{2}$, mas a distância total percorrida é $\int_0^5\lvert t - 2\rvert\,dt = 2 + \frac{9}{2} = \frac{13}{2}$. Esse é o motivo mais comum para integrar um módulo.

## Variante por substituição

Com uma expressão linear dentro, $\int\lvert ax + b\rvert\,dx = \frac{(ax + b)\lvert ax + b\rvert}{2a} + C$. Por exemplo, $\int\lvert 2x - 3\rvert\,dx = \frac{(2x - 3)\lvert 2x - 3\rvert}{4} + C$.

## Erros comuns

1. **Responder $\frac{x^2}{2} + C$.** Isso só está certo para $x \ge 0$.
2. **Responder $\left\lvert\frac{x^2}{2}\right\rvert + C$.** Sua derivada é $x$, que é negativa para $x < 0$.
3. **Obter $0$ para $\int_{-a}^{a}\lvert x\rvert\,dx$.** $\lvert x\rvert$ é par, e não ímpar. Nada se cancela.
4. **Separar no ponto errado.** Para $\lvert x - 1\rvert$, separe em $x = 1$, e não em $x = 0$.

Pratique esse tipo de separação nos [exercícios de integrais definidas](/practice-problems/definite-integrals).

## Perguntas frequentes

### Qual é a integral de |x|?

É $\frac{x\lvert x\rvert}{2} + C$. Isso é igual a $\frac{x^2}{2}$ para $x \ge 0$ e a $-\frac{x^2}{2}$ para $x < 0$.

### Qual é a integral de |x| de -1 a 1?

É $1$. O gráfico forma dois triângulos, cada um com área $\frac{1}{2}$.

### Por que a integral de |x| não é |x²/2|?

$\left\lvert\frac{x^2}{2}\right\rvert = \frac{x^2}{2}$, cuja derivada é $x$. Para $x$ negativo isso é negativo, mas $\lvert x\rvert$ é positivo. É preciso a troca de sinal que $x\lvert x\rvert$ fornece.

### |x| é integrável mesmo tendo um bico?

Sim. $\lvert x\rvert$ é contínua, e toda função contínua num intervalo fechado é integrável. O bico só impede que ela seja diferenciável em $0$.