# Derivação implícita: passo a passo, fórmula e exemplos

> A derivação implícita encontra dy/dx quando y não está isolado. A regra-chave, um método em quatro passos, exemplos com retas tangentes e erros comuns.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/regras/derivacao-implicita
Atualizado: 2026-11-03

$$ \frac{d}{dx}\,f(y) = f'(y)\,\frac{dy}{dx} $$

## Visão geral

- **Aplica-se a:** Equações que relacionam $x$ e $y$ em que $y$ não está isolado, como $x^2 + y^2 = 25$
- **Ideia central:** Trate $y$ como função de $x$, então todo termo com $y$ ganha um fator $\frac{dy}{dx}$ pela regra da cadeia
- **Resultado:** Uma fórmula para $\frac{dy}{dx}$ que geralmente contém $x$ e $y$
- **Pré-requisitos:** Regra da cadeia, e a regra do produto para termos como $xy$
- **Usada em:** Retas tangentes a curvas, taxas relacionadas, derivadas de funções inversas

## Pontos principais

- Derive os dois lados em relação a $x$, tratando $y$ como função de $x$.
- Toda vez que derivar um termo com $y$, multiplique por $\frac{dy}{dx}$.
- Junte os termos com $\frac{dy}{dx}$ de um lado e coloque em evidência para resolver.
- A resposta geralmente envolve $x$ e $y$. Substitua um ponto da curva para obter uma inclinação.

A **derivação implícita** encontra $\frac{dy}{dx}$ a partir de uma equação que mistura $x$ e $y$, sem antes isolar $y$. Você deriva os dois lados em relação a $x$, lembra que $y$ depende de $x$ e então resolve para $\frac{dy}{dx}$. É a [regra da cadeia](/rules/chain-rule) aplicada a $y$.

## A regra-chave

Como $y$ é uma função de $x$, qualquer expressão em $y$ é uma composição. Pela regra da cadeia:

$$\frac{d}{dx}\,f(y) = f'(y)\,\frac{dy}{dx}$$

| Termo | Derivada em relação a $x$ |
| --- | --- |
| $x^3$ | $3x^2$ |
| $y^3$ | $3y^2\,\frac{dy}{dx}$ |
| $\sin y$ | $\cos y\,\frac{dy}{dx}$ |
| $e^y$ | $e^y\,\frac{dy}{dx}$ |
| $xy$ | $y + x\,\frac{dy}{dx}$ (regra do produto) |

## Os quatro passos

1. Derive **os dois lados** da equação em relação a $x$.
2. Multiplique por $\frac{dy}{dx}$ toda vez que derivar um termo com $y$.
3. Passe todos os termos com $\frac{dy}{dx}$ para um lado e todo o resto para o outro.
4. Coloque $\frac{dy}{dx}$ em evidência e divida.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: uma circunferência.** Derive $x^2 + y^2 = 25$:

$$2x + 2y\,\frac{dy}{dx} = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

No ponto $(3, 4)$ a inclinação é $-\frac{3}{4}$, então a reta tangente é $y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3)$, ou $y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{4}$.

```graph
title: 'Circunferência x² + y² = 25 com sua reta tangente em (3, 4)'
caption: 'A derivação implícita dá $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$, então a inclinação em $(3, 4)$ é $-\frac{3}{4}$.'
x: [-8, 10]
y: [-6, 7]
functions:
  - expr: sqrt(25 - x^2)
    label: metade superior
    domain: [-5, 5]
  - expr: -sqrt(25 - x^2)
    label: metade inferior
    domain: [-5, 5]
  - expr: -0.75x + 6.25
    label: tangente em (3, 4)
    dashed: true
points:
  - [3, 4, '(3, 4)']
```

**Exemplo 2: um termo de produto.** Derive $x^3 + y^3 = 6xy$, usando a regra do produto em $6xy$:

$$3x^2 + 3y^2\,\frac{dy}{dx} = 6y + 6x\,\frac{dy}{dx}$$

Junte os termos e coloque em evidência:

$$\frac{dy}{dx}\left(3y^2 - 6x\right) = 6y - 3x^2 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{2y - x^2}{y^2 - 2x}$$

O ponto $(3, 3)$ está na curva, pois $27 + 27 = 54 = 6 \cdot 9$. Nele a inclinação é $\frac{6 - 9}{9 - 6} = -1$.

**Exemplo 3: recuperando a derivada de $\ln x$.** Se $y = \ln x$, então $e^y = x$. Derive:

$$e^y\,\frac{dy}{dx} = 1 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$$

Essa é a ideia por trás da [derivada da função inversa](/rules/inverse-function-rule).

**Exemplo 4: uma equação trigonométrica.** Derive $\sin y = x^2$:

$$\cos y\,\frac{dy}{dx} = 2x \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{\cos y}$$

## Quando usar derivação implícita

- A equação é difícil ou impossível de resolver para $y$ (como $x^3 + y^3 = 6xy$).
- A curva não é uma única função, como uma circunferência ou uma elipse, e você quer as inclinações em todas as partes.
- Você precisa de derivadas de funções inversas como $\ln x$, $\arcsin x$ ou $\arctan x$.
- Em problemas de [taxas relacionadas](/blog/related-rates), em que se deriva em relação ao tempo $t$ e cada grandeza tem sua própria taxa.

## Erros comuns

1. **Esquecer o $\frac{dy}{dx}$ nos termos com $y$.** $\frac{d}{dx}\,y^2$ é $2y\,\frac{dy}{dx}$, e não $2y$.
2. **Pular a regra do produto.** $\frac{d}{dx}\,xy$ é $y + x\,\frac{dy}{dx}$, e não $\frac{dy}{dx}$ nem $1 \cdot \frac{dy}{dx}$.
3. **Derivar só um lado.** Os dois lados mudam, inclusive um lado constante, cuja derivada é $0$.
4. **Substituir um ponto que não está na curva.** Confira se o ponto satisfaz a equação original antes de usá-lo.

Para uma explicação mais longa com mais exercícios, leia o guia completo de [derivação implícita](/blog/implicit-differentiation).

## Perguntas frequentes

### O que é derivação implícita?

É uma forma de encontrar $\frac{dy}{dx}$ a partir de uma equação em $x$ e $y$ sem isolar $y$. Você deriva os dois lados em relação a $x$ e usa a regra da cadeia em todo termo com $y$.

### Por que se multiplica por dy/dx?

Porque $y$ é uma função de $x$. Pela regra da cadeia, $\frac{d}{dx}\,y^2 = 2y \cdot \frac{dy}{dx}$, assim como $\frac{d}{dx}\,(g(x))^2 = 2g(x)\,g'(x)$.

### Quando usar derivação implícita?

Quando é difícil ou impossível isolar $y$, como em $x^3 + y^3 = 6xy$, ou quando a curva não é o gráfico de uma única função, como uma circunferência.

### Por que a resposta tem y?

A curva pode passar por vários pontos com o mesmo $x$ e inclinações diferentes. O $y$ indica de qual ponto você está falando.