# Derivação logarítmica: como derivar x^x e outras funções

> Derivação logarítmica: aplique ln nos dois lados, derive e multiplique por y. Passo a passo e exemplos para x^x, expoentes variáveis e produtos longos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/regras/derivacao-logaritmica
Atualizado: 2026-11-03

$$ \frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{d}{dx}\big[\ln y\big] $$

## Visão geral

- **Aplica-se a:** Bases variáveis com expoentes variáveis, como $x^x$, e produtos ou quocientes longos de potências
- **Em palavras:** Aplique $\ln$ nos dois lados, simplifique com as propriedades dos logaritmos, derive e multiplique por $y$
- **Fato-chave:** $\frac{d}{dx}\ln y = \frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx}$ pela regra da cadeia
- **Propriedades usadas:** $\ln(ab) = \ln a + \ln b$, $\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b$, $\ln a^k = k \ln a$
- **Resultado clássico:** $\frac{d}{dx}\,x^x = x^x(\ln x + 1)$

## Pontos principais

- Use quando a variável aparece na base e no expoente, como em $x^x$ ou $x^{\sin x}$.
- Os logaritmos transformam produtos em somas e potências em múltiplos, que são fáceis de derivar.
- Depois de derivar, multiplique por $y$ e substitua a função original de volta.

A **derivação logarítmica** é uma técnica para funções difíceis de derivar diretamente. Você aplica o logaritmo natural nos dois lados, usa as propriedades dos logaritmos para transformar produtos, quocientes e potências em somas e múltiplos, deriva e então isola $\frac{dy}{dx}$. É o único método usual para derivar uma função como $x^x$.

## O método

Partindo de $y = f(x)$ com $f(x) > 0$:

1. Aplique o logaritmo natural nos dois lados: $\ln y = \ln f(x)$.
2. Simplifique o lado direito com as propriedades dos logaritmos.
3. Derive os dois lados em relação a $x$. O lado esquerdo vira $\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx}$ pela [regra da cadeia](/rules/chain-rule).
4. Multiplique os dois lados por $y$ e substitua $y = f(x)$ de volta.

Em uma linha:

$$\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{d}{dx}\big[\ln y\big]$$

Se $f$ puder ser negativa, use $\ln|y|$. A derivada de $\ln|y|$ continua sendo $\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx}$, então a fórmula final não muda.

## Qual regra para cada potência?

| Forma | Exemplo | Regra | Derivada |
| --- | --- | --- | --- |
| constante elevada a constante | $2^3$ | [Regra da constante](/rules/constant-rule) | $0$ |
| variável elevada a constante | $x^3$ | [Regra da potência](/rules/power-rule) | $3x^2$ |
| constante elevada a variável | $3^x$ | Regra da exponencial | $3^x\ln 3$ |
| variável elevada a variável | $x^x$ | Derivação logarítmica | $x^x(\ln x + 1)$ |

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: $y = x^x$** (para $x > 0$). Aplique o logaritmo e desça o expoente:

$$\ln y = x\ln x$$

Derive, usando a [regra do produto](/rules/product-rule) no lado direito:

$$\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx} = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$$

Multiplique por $y$:

$$\frac{dy}{dx} = x^x(\ln x + 1)$$

```graph
title: 'Gráfico de y = xˣ e de sua derivada xˣ(ln x + 1)'
caption: 'A derivada se anula quando $\ln x = -1$, em $x = \frac{1}{e} \approx 0.37$, onde $x^x$ atinge seu mínimo.'
x: [0.02, 2]
y: [-1, 4]
functions:
  - expr: x^x
    label: y = xˣ
  - expr: x^x*(ln(x) + 1)
    label: derivada
    dashed: true
points:
  - [0.368, 0.692, 'mínimo']
```

**Exemplo 2: $y = x^{\sin x}$** (para $x > 0$). Então $\ln y = \sin x \ln x$, e

$$\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx} = \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx} = x^{\sin x}\left(\cos x\ln x + \frac{\sin x}{x}\right)$$

**Exemplo 3: um quociente complicado.** Para $y = \frac{(x+1)^3\sqrt{x^2 + 4}}{(2x - 1)^5}$, os logaritmos separam tudo:

$$\ln y = 3\ln(x + 1) + \frac{1}{2}\ln(x^2 + 4) - 5\ln(2x - 1)$$

Derive cada termo com a regra da cadeia:

$$\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx} = \frac{3}{x + 1} + \frac{x}{x^2 + 4} - \frac{10}{2x - 1}$$

Assim

$$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)^3\sqrt{x^2 + 4}}{(2x - 1)^5}\left(\frac{3}{x + 1} + \frac{x}{x^2 + 4} - \frac{10}{2x - 1}\right)$$

As regras do quociente e do produto chegariam à mesma resposta, mas com muito mais álgebra.

**Exemplo 4: demonstrando a regra da potência.** Para $y = x^n$ com qualquer $n$ real e $x > 0$: $\ln y = n\ln x$, logo $\frac{y'}{y} = \frac{n}{x}$ e $y' = x^n \cdot \frac{n}{x} = n\,x^{n-1}$. É assim que a regra da potência se estende a qualquer expoente real.

## Erros comuns

1. **Usar a regra da potência em $x^x$.** $x \cdot x^{x-1} = x^x$ está errado. O expoente não é constante.
2. **Usar a regra da exponencial em $x^x$.** $x^x\ln x$ também está errado. A base não é constante. Repare que a resposta correta $x^x\ln x + x^x$ é a soma dessas duas respostas erradas.
3. **Esquecer de multiplicar por $y$.** Derivar $\ln y$ dá $\frac{y'}{y}$. Isole $y'$ no final.
4. **Deixar $y$ na resposta.** Substitua $y$ pela função original para que a derivada fique só em função de $x$.

O método se apoia na [derivação implícita](/rules/implicit-differentiation) e na derivada de $\ln x$. Para revisar as derivadas de exponenciais e logaritmos, leia o guia de [derivadas de funções exponenciais e logarítmicas](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Perguntas frequentes

### O que é derivação logarítmica?

É uma técnica em que você aplica o logaritmo natural nos dois lados de $y = f(x)$, simplifica com as propriedades dos logaritmos, deriva implicitamente e isola $\frac{dy}{dx}$ multiplicando por $y$.

### Qual é a derivada de x^x?

Seja $y = x^x$, então $\ln y = x\ln x$. Derivando, obtemos $\frac{y'}{y} = \ln x + 1$, logo $\frac{d}{dx}\,x^x = x^x(\ln x + 1)$ para $x > 0$.

### Quando usar a derivação logarítmica?

Use para uma variável elevada a uma potência variável e como atalho para produtos e quocientes longos de potências, que exigiriam várias aplicações das regras do produto e do quociente.

### Por que não dá para usar a regra da potência em x^x?

A regra da potência exige um expoente constante e a regra da exponencial exige uma base constante. Em $x^x$ os dois são variáveis, então nenhuma das regras se aplica.