# Derivada da função inversa: fórmula e exemplos resolvidos

> A regra da função inversa: a derivada de f⁻¹ em x é 1/f'(f⁻¹(x)). A fórmula, por que as inclinações são inversas, exemplos, arcsen e ln.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/regras/derivada-da-funcao-inversa
Atualizado: 2026-11-03

$$ (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'\big(f^{-1}(x)\big)} $$

## Visão geral

- **Aplica-se a:** Uma função $f$ injetora e diferenciável, nos pontos em que $f'(f^{-1}(x)) \ne 0$
- **Forma pontual:** Se $f(a) = b$, então $(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}$
- **Notação de Leibniz:** $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}$
- **Significado no gráfico:** Refletir em relação a $y = x$ troca a variação vertical pela horizontal, então as inclinações se invertem
- **Fornece:** As derivadas de $\ln x$, $\sqrt{x}$, $\arcsin x$ e $\arctan x$

## Pontos principais

- A inclinação de $f^{-1}$ em $(b, a)$ é o inverso da inclinação de $f$ em $(a, b)$.
- Você pode encontrar $(f^{-1})'(b)$ sem uma fórmula para $f^{-1}$: resolva $f(a) = b$ e calcule $\frac{1}{f'(a)}$.
- A regra falha onde $f'(a) = 0$, porque ali a inversa tem uma reta tangente vertical.

A **regra da função inversa** dá a derivada de uma função inversa a partir da derivada da função original. Se $f$ tem inclinação $m$ no ponto $(a, b)$, então $f^{-1}$ tem inclinação $\frac{1}{m}$ no ponto espelhado $(b, a)$. Você não precisa de uma fórmula para a inversa para usá-la.

## A fórmula da derivada da função inversa

Seja $f$ injetora e diferenciável, com inversa $f^{-1}$. Se $f'(f^{-1}(x)) \ne 0$, então $f^{-1}$ é diferenciável em $x$ e

$$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'\big(f^{-1}(x)\big)}$$

A **forma pontual** costuma ser mais fácil de usar. Se $f(a) = b$ e $f'(a) \ne 0$:

$$(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}$$

Na notação de Leibniz, com $y = f(x)$ e $x = f^{-1}(y)$, isso fica $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}$.

```graph
title: 'Gráficos de y = x² e y = √x refletidos em relação a y = x'
caption: 'Em $(2, 4)$ a parábola tem inclinação $4$. No ponto espelhado $(4, 2)$ a raiz quadrada tem inclinação $\frac{1}{4}$.'
x: [0, 6]
y: [0, 6]
functions:
  - expr: x^2
    label: y = x²
    domain: [0, 2.45]
  - expr: sqrt(x)
    label: y = √x
  - expr: x
    label: y = x
    dashed: true
points:
  - [2, 4, 'inclinação 4']
  - [4, 2, 'inclinação 1/4']
```

## Por que a regra funciona

Parta da identidade $f(f^{-1}(x)) = x$ e derive os dois lados usando a [regra da cadeia](/rules/chain-rule):

$$f'\big(f^{-1}(x)\big) \cdot (f^{-1})'(x) = 1$$

Divida por $f'(f^{-1}(x))$ e você tem a regra. Geometricamente, refletir um gráfico em relação a $y = x$ troca $x$ e $y$, o que troca a variação vertical pela horizontal, então toda inclinação vira seu inverso.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: sem fórmula para a inversa.** Seja $f(x) = x^3 + x + 1$, que é crescente e portanto injetora. Encontre $(f^{-1})'(3)$.

**Passo 1.** Resolva $f(a) = 3$: $a^3 + a + 1 = 3$ dá $a = 1$.

**Passo 2.** Derive: $f'(x) = 3x^2 + 1$, então $f'(1) = 4$.

**Passo 3.** Tome o inverso: $(f^{-1})'(3) = \frac{1}{4}$.

**Exemplo 2: a derivada de $\ln x$.** Aqui $f(x) = e^x$, $f'(x) = e^x$ e $f^{-1}(x) = \ln x$:

$$\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{e^{\ln x}} = \frac{1}{x}$$

**Exemplo 3: a derivada de $\arcsin x$.** Aqui $f(x) = \sin x$ em $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, então $f'(x) = \cos x$:

$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\cos(\arcsin x)} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad -1 < x < 1$$

O último passo usa $\cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta}$, que é positivo nesse intervalo. Veja [arco seno](/functions/arcsine).

**Exemplo 4: a derivada de $\arctan x$.** Com $f(x) = \tan x$ e $f'(x) = \sec^2 x = 1 + \tan^2 x$:

$$\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1 + \tan^2(\arctan x)} = \frac{1}{1 + x^2}$$

## Derivadas que a regra produz

| Função $f$ | Inversa $f^{-1}$ | Derivada da inversa |
| --- | --- | --- |
| $x^2$ para $x \ge 0$ | $\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ |
| $e^x$ | $\ln x$ | $\frac{1}{x}$ |
| $\sin x$ | $\arcsin x$ | $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ |
| $\cos x$ | $\arccos x$ | $-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ |
| $\tan x$ | $\arctan x$ | $\frac{1}{1 + x^2}$ |

## Erros comuns

1. **Calcular $f'$ na entrada errada.** $(f^{-1})'(b)$ usa $f'(a)$ com $f(a) = b$, não $f'(b)$. No Exemplo 1, $f'(3) = 28$ daria a resposta errada $\frac{1}{28}$.
2. **Confundir $f^{-1}$ com $\frac{1}{f}$.** $f^{-1}$ é a função inversa, não o inverso multiplicativo. $\sin^{-1}x$ significa $\arcsin x$, não $\csc x$.
3. **Ignorar onde $f' = 0$.** Se $f'(a) = 0$, a inversa tem uma reta tangente vertical em $b$ e não é diferenciável ali. Para $f(x) = x^3$, a inversa $\sqrt[3]{x}$ não é diferenciável em $0$.

O mesmo resultado também sai da [derivação implícita](/rules/implicit-differentiation): escreva $x = f(y)$ e derive os dois lados. Para saber mais sobre $\ln x$ e $e^x$, leia o guia de [derivadas de funções exponenciais e logarítmicas](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Perguntas frequentes

### Qual é a fórmula da derivada da função inversa?

$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$. De forma equivalente, se $f(a) = b$, então $(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}$.

### Como encontrar a derivada da inversa em um ponto?

Encontre a entrada $a$ com $f(a) = b$, calcule $f'(a)$ e tome o inverso. Você não precisa encontrar a própria $f^{-1}$.

### Por que a derivada da inversa é um inverso?

O gráfico de $f^{-1}$ é o gráfico de $f$ refletido em relação a $y = x$. A reflexão troca a variação vertical pela horizontal, então uma inclinação $m$ vira $\frac{1}{m}$.

### A derivada de f inversa é o mesmo que 1 sobre f linha?

Não na mesma entrada. $(f^{-1})'(x)$ é igual a $\frac{1}{f'}$ calculado em $f^{-1}(x)$, não em $x$. Usar a entrada errada é o erro mais comum.