# Fórmula da série geométrica: soma a/(1 − r), convergência e exemplos

> A fórmula da série geométrica: a + ar + ar² + ... = a/(1 − r) quando |r| < 1. Somas parciais, a condição de convergência e exemplos resolvidos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/regras/formula-da-serie-geometrica
Atualizado: 2026-11-03

$$ \sum_{n=0}^{\infty} a\,r^n = \frac{a}{1 - r}, \quad \lvert r\rvert < 1 $$

## Visão geral

- **Primeiro termo:** $a$, o termo obtido quando o expoente é $0$
- **Razão:** $r$, o fator que transforma cada termo no seguinte
- **Converge quando:** $\lvert r\rvert < 1$
- **Diverge quando:** $\lvert r\rvert \ge 1$ (e $a \ne 0$)
- **Soma parcial:** $S_N = a\,\dfrac{1 - r^N}{1 - r}$ para os primeiros $N$ termos, $r \ne 1$

## Pontos principais

- Uma série geométrica infinita converge para $\frac{a}{1-r}$ exatamente quando $\lvert r\rvert < 1$.
- $a$ é o primeiro termo da série como ela está escrita, não necessariamente o coeficiente na frente de $r^n$.
- A soma finita dos primeiros $N$ termos é $a\frac{1 - r^N}{1 - r}$.

Uma **série geométrica** soma termos em que cada um vem do anterior multiplicado pelo mesmo número $r$. É uma das poucas séries infinitas cuja soma exata você consegue escrever, o que faz dela a referência com a qual todo [teste de convergência](/blog/convergence-tests) é comparado.

## A fórmula da série geométrica

Com primeiro termo $a$ e razão $r$:

$$a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} a\,r^n = \frac{a}{1-r}, \qquad \lvert r\rvert < 1$$

Se $\lvert r\rvert \ge 1$ e $a \ne 0$, a série **diverge**.

A soma dos primeiros $N$ termos é finita para todo $r \ne 1$:

$$S_N = a + ar + \cdots + ar^{N-1} = a\,\frac{1 - r^N}{1 - r}$$

## Por que a fórmula funciona

Multiplique $S_N$ por $r$ e subtraia. Quase todos os termos se cancelam:

$$S_N - rS_N = a - ar^N \quad\Longrightarrow\quad S_N = a\,\frac{1 - r^N}{1 - r}$$

Quando $\lvert r\rvert < 1$, $r^N \to 0$ quando $N \to \infty$, então $S_N \to \frac{a}{1-r}$. Quando $\lvert r\rvert \ge 1$, $r^N$ não tende a zero e as somas parciais não têm limite finito.

```graph
title: 'Somas parciais de 1 + 1/2 + 1/4 + ... se aproximando de 2'
caption: 'Cada soma parcial $S_N = 2 - 2^{1-N}$ fecha metade da distância que falta até o limite $\frac{1}{1 - 1/2} = 2$.'
x: [0, 7]
y: [0, 2.5]
functions:
  - expr: '2'
    label: y = 2 (a soma)
    dashed: true
points:
  - [1, 1, 'S1 = 1']
  - [2, 1.5, 'S2 = 1.5']
  - [3, 1.75, 'S3 = 1.75']
  - [4, 1.875]
  - [5, 1.9375]
  - [6, 1.96875]
```

## Como usar

1. **Encontre $a$**: o primeiro termo da série como ela está escrita. Substitua o índice inicial.
2. **Encontre $r$**: divida qualquer termo pelo anterior.
3. **Verifique se $\lvert r\rvert < 1$**. Se não for, pare: a série diverge.
4. **Calcule $\frac{a}{1-r}$.**

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: um clássico.** $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots$ tem $a = 1$, $r = \frac{1}{2}$:

$$\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$$

**Exemplo 2: o índice não começa em 0.** Em $\sum_{n=1}^{\infty} 3\left(\frac{2}{3}\right)^n$ o primeiro termo é $3\cdot\frac{2}{3} = 2$, não $3$:

$$\sum_{n=1}^{\infty} 3\left(\frac{2}{3}\right)^n = \frac{2}{1 - \frac{2}{3}} = 6$$

**Exemplo 3: uma razão negativa.** $\sum_{n=0}^{\infty} \left(-\frac{1}{3}\right)^n$ tem $a = 1$, $r = -\frac{1}{3}$:

$$\frac{1}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)} = \frac{3}{4}$$

**Exemplo 4: uma dízima periódica.** $0.272727\ldots = \frac{27}{100} + \frac{27}{10000} + \cdots$ tem $a = \frac{27}{100}$ e $r = \frac{1}{100}$:

$$\frac{27/100}{99/100} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$$

**Exemplo 5: divergência.** $\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{5}{4}\right)^n$ tem $r = \frac{5}{4} > 1$, então diverge. Os termos crescem em vez de diminuir.

## Somas finitas e infinitas

A fórmula finita funciona para toda razão exceto $r = 1$, então até uma série com $r = 3$ tem uma soma perfeitamente válida dos dez primeiros termos: $\sum_{n=0}^{9} 3^n = \frac{1 - 3^{10}}{1 - 3} = 29524$. Só a soma infinita precisa de $\lvert r\rvert < 1$. Quando $r = 1$, todo termo é igual a $a$, então os primeiros $N$ termos somam $Na$, e a série infinita diverge.

## Erros comuns

1. **Usar o coeficiente em vez do primeiro termo.** Quando a soma começa em $n = 1$ ou depois, calcule o primeiro termo diretamente.
2. **Ignorar a condição.** $\frac{a}{1-r}$ com $r = 2$ dá $-a$, um número sem sentido. Sempre verifique $\lvert r\rvert < 1$ primeiro.
3. **Confundir outras séries com geométricas.** $\sum \frac{1}{n^2}$ e $\sum \frac{1}{2n}$ não têm razão constante, então a fórmula não se aplica.
4. **Perder um sinal em $r$.** Em uma série geométrica alternada, $r$ é negativo, e $1 - r$ vira $1 + \lvert r\rvert$.

## Aonde isso leva

As séries geométricas são o modelo do [teste da razão](/rules/ratio-test), que pergunta se uma série acaba se comportando como uma geométrica com $\lvert r\rvert < 1$. Elas também dão a primeira série de potências, $\frac{1}{1-x} = \sum x^n$ para $\lvert x\rvert < 1$, o ponto de partida das [séries de potências](/blog/power-series). Para mais exemplos, leia o guia completo de [séries geométricas](/blog/geometric-series).

## Perguntas frequentes

### Qual é a fórmula da soma de uma série geométrica infinita?

Se o primeiro termo é $a$ e a razão $r$ satisfaz $\lvert r\rvert < 1$, a soma é $\frac{a}{1-r}$. Se $\lvert r\rvert \ge 1$, a série diverge.

### Como encontrar r em uma série geométrica?

Divida qualquer termo pelo termo anterior. Para $6 + 2 + \frac{2}{3} + \cdots$, a razão é $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

### Por que uma série geométrica diverge quando |r| é pelo menos 1?

Se $\lvert r\rvert \ge 1$, os termos $ar^n$ não tendem a zero, então, pelo teste do termo geral, a série não pode convergir.

### Como escrever 0,999... como uma série geométrica?

$0.999\ldots = \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \cdots$, uma série geométrica com $a = \frac{9}{10}$ e $r = \frac{1}{10}$. Sua soma é $\frac{9/10}{9/10} = 1$.