# Fórmula de integração por partes: ∫u dv = uv − ∫v du, LIATE e exemplos > A fórmula de integração por partes ∫u dv = uv − ∫v du, como o LIATE escolhe u, a versão para integral definida e exemplos com ln x, x·eˣ e x·cos x. Fonte: https://practicecalculus.com/pt/regras/integracao-por-partes Atualizado: 2026-11-03 $$ \int u\,dv = uv - \int v\,du $$ ## Visão geral - **Inverte:** A regra do produto para derivadas - **Use quando:** O integrando é um produto de dois tipos diferentes de função, como $x\,e^x$ ou $x\cos x$ - **Escolha de u:** LIATE: Logarítmica, Inversa trigonométrica, Algébrica, Trigonométrica, Exponencial - **Versão definida:** $\int_a^b u\,dv = \big[uv\big]_a^b - \int_a^b v\,du$ - **Objetivo:** A nova integral $\int v\,du$ deve ser mais simples que a original ## Pontos principais - A integração por partes troca $\int u\,dv$ por $uv - \int v\,du$. - Escolha como $u$ o fator que fica mais simples ao ser derivado; o LIATE é uma boa ordem padrão. - Algumas integrais exigem partes duas vezes, e algumas voltam à integral original, que você então isola. A **integração por partes** é a [regra do produto](/rules/product-rule) das derivadas, reorganizada para integrar produtos. Ela troca uma integral por outra, e quando $u$ e $dv$ são bem escolhidos, a nova integral é mais fácil que a original. ## A fórmula de integração por partes Para funções diferenciáveis $u$ e $v$: $$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$ Em notação de funções, com $u = f(x)$ e $dv = g'(x)\,dx$: $$\int f(x)\,g'(x)\,dx = f(x)\,g(x) - \int f'(x)\,g(x)\,dx$$ Para uma integral definida, calcule o termo $uv$ nos limites de integração: $$\int_a^b u\,dv = \big[uv\big]_a^b - \int_a^b v\,du$$ ## De onde ela vem A regra do produto diz que $(uv)' = u'v + uv'$. Integre os dois lados e reorganize: $$uv = \int v\,du + \int u\,dv \quad\Longrightarrow\quad \int u\,dv = uv - \int v\,du$$ ## Escolhendo u com o LIATE Escolha como $u$ o fator que fica mais simples ao ser derivado, e como $dv$ um fator que você consegue integrar. O **LIATE** ordena as opções para $u$: | Letra | Tipo | Exemplo | | --- | --- | --- | | L | Logarítmica | $\ln x$ | | I | Inversa trigonométrica | $\arctan x$ | | A | Algébrica | $x^2$, $3x + 1$ | | T | Trigonométrica | $\sin x$, $\cos x$ | | E | Exponencial | $e^x$, $2^x$ | Tome $u$ do primeiro tipo presente. O LIATE é uma orientação, não uma lei, mas funciona para quase todos os exercícios de livro. ## Exemplos resolvidos **Exemplo 1: $\int x\,e^x\,dx$.** Algébrica vem antes de exponencial, então $u = x$ e $dv = e^x\,dx$. Logo $du = dx$ e $v = e^x$: $$\int x\,e^x\,dx = x\,e^x - \int e^x\,dx = x\,e^x - e^x + C$$ **Exemplo 2: $\int x\cos x\,dx$.** Tome $u = x$, $dv = \cos x\,dx$, então $du = dx$ e $v = \sin x$: $$\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C$$ **Exemplo 3: $\int \ln x\,dx$.** Há só um fator, então tome $u = \ln x$ e $dv = dx$. Logo $du = \frac{1}{x}\,dx$ e $v = x$: $$\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - x + C$$ **Exemplo 4: uma integral definida.** Usando o Exemplo 1: $$\int_0^1 x\,e^x\,dx = \big[x\,e^x - e^x\big]_0^1 = (e - e) - (0 - 1) = 1$$ **Exemplo 5: partes duas vezes.** Para $\int x^2 e^x\,dx$, a primeira rodada com $u = x^2$ deixa $\int 2x\,e^x\,dx$, que exige uma segunda rodada. O resultado é $$\int x^2 e^x\,dx = e^x\left(x^2 - 2x + 2\right) + C$$ **Exemplo 6: a integral volta.** Para $\int e^x \sin x\,dx$, aplicar partes duas vezes devolve a integral original $I$ com sinal de menos. Resolvendo $I = e^x\sin x - e^x\cos x - I$, obtemos $$\int e^x\sin x\,dx = \frac{e^x\left(\sin x - \cos x\right)}{2} + C$$ ## Conferindo a resposta Derive com a regra do produto e você deve obter de volta o integrando. Para o Exemplo 2: $$\frac{d}{dx}\left[x\sin x + \cos x\right] = \sin x + x\cos x - \sin x = x\cos x$$ A conferência é rápida e pega a maioria dos erros de sinal. Um hábito útil: depois de escolher $u$ e $dv$, escreva $u$, $du$, $v$ e $dv$ num pequeno quadro dois por dois antes de substituir na fórmula, para não perder nada. ## Erros comuns 1. **Escolher $u$ ao contrário.** Com $u = e^x$ e $dv = x\,dx$, a nova integral $\int \frac{x^2}{2}e^x\,dx$ é mais difícil que a inicial. 2. **Perder o sinal de menos.** A fórmula é $uv - \int v\,du$, com menos. Quando usar partes duas vezes, acompanhe os sinais com cuidado. 3. **Esquecer de calcular $uv$ nos limites.** Numa integral definida, $uv$ também precisa ser calculado de $a$ até $b$. 4. **Somar $+C$ ao $v$.** Você pode tomar qualquer antiderivada para $v$. Um único $+C$ no final basta. Quando um produto é na verdade uma composição vezes a derivada interna, a [integração por substituição](/rules/u-substitution-rule) é mais rápida. Para integração tabular, mais prática com o LIATE e exemplos mais difíceis, leia o guia completo de [integração por partes](/blog/integration-by-parts). ## Perguntas frequentes ### Qual é a fórmula de integração por partes? É $\int u\,dv = uv - \int v\,du$. Você divide o integrando em um fator $u$ para derivar e um fator $dv$ para integrar. ### O que significa LIATE? Logarítmica, Inversa trigonométrica, Algébrica, Trigonométrica, Exponencial. Escolha $u$ do tipo que aparece primeiro na lista; o resto é $dv$. ### Como integrar ln x? Tome $u = \ln x$ e $dv = dx$, então $du = \frac{1}{x}dx$ e $v = x$. Assim $\int \ln x\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x + C$. ### Quando usar integração por partes em vez de substituição? Use substituição quando um fator é a derivada de uma função interna. Use partes quando há um produto de funções sem relação entre si, como um polinômio vezes uma exponencial, um logaritmo ou uma função trigonométrica.