# Integração por substituição (mudança de variável): fórmula e exemplos

> A integração por substituição inverte a regra da cadeia: ∫f(g(x))g′(x)dx = ∫f(u)du. Fórmula, como escolher u, limites na integral definida e exemplos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/regras/integracao-por-substituicao
Atualizado: 2026-11-03

$$ \int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \quad u = g(x) $$

## Visão geral

- **Inverte:** A regra da cadeia para derivadas
- **Use quando:** O integrando contém uma função interna $g(x)$ e, a menos de uma constante, sua derivada $g'(x)$
- **Passo-chave:** Faça $u = g(x)$ e substitua $dx$ usando $du = g'(x)\,dx$
- **Integrais definidas:** Troque os limites para $u = g(a)$ e $u = g(b)$
- **Também chamada de:** Mudança de variável, substituição u, regra da substituição

## Pontos principais

- A integração por substituição é a regra da cadeia ao contrário: procure uma função interna cuja derivada também apareça.
- Depois de substituir, a integral deve conter apenas $u$ e $du$, sem sobrar nenhum $x$.
- Faltar um fator constante não é problema: dá para corrigir multiplicando e dividindo.
- Em integrais definidas, troque os limites para valores de $u$ ou volte à variável original antes de calcular.

A **integração por substituição** (ou mudança de variável) é a [regra da cadeia](/rules/chain-rule) ao contrário. Quando um integrando contém uma função dentro de outra, junto com a derivada dessa função interna, uma única mudança de variável o transforma numa integral básica.

## A fórmula da integração por substituição

Se $u = g(x)$ é diferenciável e $f$ é contínua, então

$$\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$$

O truque está no diferencial: de $u = g(x)$ você obtém $du = g'(x)\,dx$, que substitui de uma vez o fator que sobra e o $dx$.

Numa integral definida, os limites mudam junto com a variável:

$$\int_a^b f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du$$

## Os passos

1. **Escolha $u$**: a função interna de uma composição.
2. **Calcule $du$**: $du = g'(x)\,dx$, e então isole $dx$ ou o fator de que você precisa.
3. **Substitua**: reescreva a integral inteira em $u$. Nenhum $x$ pode sobrar.
4. **Integre** em $u$ com uma regra básica, como a [regra da potência inversa](/rules/reverse-power-rule).
5. **Volte à variável original** com $u = g(x)$, ou use os novos limites numa integral definida.

## Como reconhecer

| Padrão do integrando | Boa escolha de $u$ |
| --- | --- |
| $(\text{algo})^n \cdot (\text{sua derivada})$ | o algo |
| $e^{g(x)}\,g'(x)$ | o expoente $g(x)$ |
| $\sin(g(x))\,g'(x)$, $\cos(g(x))\,g'(x)$ | o ângulo $g(x)$ |
| $\frac{g'(x)}{g(x)}$ | o denominador $g(x)$, dando $\ln\lvert g(x)\rvert$ |
| $f(ax + b)$ | a expressão linear interna $ax + b$ |

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: uma potência.** Para $\int 2x\,(x^2 + 1)^5\,dx$, faça $u = x^2 + 1$, então $du = 2x\,dx$:

$$\int u^5\,du = \frac{u^6}{6} + C = \frac{(x^2+1)^6}{6} + C$$

**Exemplo 2: ajustando uma constante.** Para $\int x\,e^{x^2}\,dx$, faça $u = x^2$, então $du = 2x\,dx$ e $x\,dx = \frac{1}{2}du$:

$$\int e^{u}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}e^{x^2} + C$$

**Exemplo 3: uma expressão linear interna.** Para $\int \cos(3x)\,dx$, faça $u = 3x$, então $dx = \frac{1}{3}du$:

$$\int \cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\sin(3x) + C$$

**Exemplo 4: aparece um logaritmo.** Para $\int \tan x\,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx$, faça $u = \cos x$, então $\sin x\,dx = -du$:

$$\int -\frac{1}{u}\,du = -\ln\lvert \cos x\rvert + C$$

**Exemplo 5: uma integral definida.** Para $\int_0^1 2x\,(x^2+1)^3\,dx$, faça $u = x^2 + 1$. Quando $x = 0$, $u = 1$; quando $x = 1$, $u = 2$:

$$\int_1^2 u^3\,du = \left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2 = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$$

## Conferindo a resposta

Derive o resultado e você deve recuperar o integrando original, incluindo a derivada interna. No Exemplo 1, a regra da cadeia dá

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{(x^2+1)^6}{6}\right] = (x^2+1)^5 \cdot 2x$$

que confere. Se a conferência der diferente por um fator constante, provavelmente você esqueceu de reescalar o $du$. Se der diferente por um fator que contém $x$, a substituição não era válida desde o início e você precisa de outro $u$ ou de outra técnica.

## Erros comuns

1. **Deixar $x$ na integral.** $\int x^2 e^{x^2}\,dx$ com $u = x^2$ deixa um $x$ a mais que não pode ser eliminado. A substituição falha aí, e nenhuma constante resolve.
2. **Esquecer de substituir $dx$.** $\int (2x+1)^3\,dx$ não é $\frac{(2x+1)^4}{4} + C$. Com $du = 2\,dx$ a resposta é $\frac{(2x+1)^4}{8} + C$.
3. **Misturar limites.** Depois de converter para $u$, use os limites em $u$. Colocar os limites antigos em $x$ numa expressão em $u$ dá um número errado.
4. **Não voltar à variável original.** A resposta de uma integral indefinida precisa estar em função de $x$.

## Onde ela se encaixa

A substituição é a primeira técnica a tentar depois das regras básicas e da [linearidade](/rules/integral-linearity-rules). Se o integrando é um produto de duas funções sem relação entre si, como $x\,e^{x}$, não há derivada interna para casar e a [integração por partes](/rules/integration-by-parts-rule) costuma ser a ferramenta certa. Para uma explicação passo a passo com mais exemplos, leia o guia completo de [integração por substituição](/blog/u-substitution).

## Perguntas frequentes

### O que é a integração por substituição?

É a regra $\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$ com $u = g(x)$. Ela transforma uma integral que veio da regra da cadeia numa integral mais simples em $u$.

### Como escolher u na integração por substituição?

Escolha a parte interna de uma composição, como a expressão dentro de uma potência, raiz, exponencial ou função trigonométrica, cuja derivada também aparece no integrando a menos de uma constante.

### E se o du estiver diferente por uma constante?

Tudo bem. Se $du = 3\,dx$ mas a integral só tem $dx$, escreva $dx = \frac{1}{3}du$. Só diferenças por constante podem ser corrigidas assim, não variáveis faltando.

### É preciso trocar os limites na substituição?

Sim. Numa integral definida, ou você converte os limites com $u = g(a)$ e $u = g(b)$, ou volta para $x$ antes de usar os limites originais. Não misture os dois.