# Linearidade da integral: soma, diferença e constante multiplicativa

> As regras de linearidade da integral: integre somas termo a termo e tire constantes para fora. Fórmulas, exemplos e os erros com produtos e quocientes.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/regras/linearidade-da-integral
Atualizado: 2026-11-03

$$ \int \left[a\,f(x) + b\,g(x)\right]dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx $$

## Visão geral

- **Regra da soma:** $\int (f + g)\,dx = \int f\,dx + \int g\,dx$
- **Regra da diferença:** $\int (f - g)\,dx = \int f\,dx - \int g\,dx$
- **Regra da constante multiplicativa:** $\int k\,f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$ para qualquer constante $k$
- **Não se aplica a:** Produtos e quocientes: $\int f g\,dx \ne \int f\,dx \cdot \int g\,dx$
- **Vale para:** Integrais indefinidas e definidas

## Pontos principais

- Você pode integrar uma soma ou diferença um termo de cada vez.
- Fatores constantes podem ser colocados para fora do sinal de integral.
- Não existe regra do produto nem do quociente para integrais: expanda, separe ou use uma técnica como a integração por substituição.

As **regras de linearidade** dizem que a integração respeita a soma e a multiplicação por constante. Você pode separar uma soma em integrais distintas e colocar fatores constantes para fora do sinal de integral. Junto com a [regra da potência inversa](/rules/reverse-power-rule), elas permitem integrar qualquer polinômio em uma linha.

## As regras de linearidade

Para funções integráveis $f$ e $g$ e constantes $a$ e $b$:

$$\int \left[a\,f(x) + b\,g(x)\right]dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$$

Esse único enunciado contém três regras:

- **Regra da soma:** $\int (f + g)\,dx = \int f\,dx + \int g\,dx$
- **Regra da diferença:** $\int (f - g)\,dx = \int f\,dx - \int g\,dx$
- **Regra da constante multiplicativa:** $\int k\,f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$

As mesmas regras valem para integrais definidas no mesmo intervalo:

$$\int_a^b \left[f(x) + g(x)\right]dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx$$

## Por que a linearidade funciona

A derivação é linear: $\frac{d}{dx}[aF + bG] = aF' + bG'$. Se $F' = f$ e $G' = g$, então $aF + bG$ é uma antiderivada (primitiva) de $af + bg$, que é exatamente a regra. Para integrais definidas a razão é ainda mais visual: uma soma de Riemann de $f + g$ é a soma das somas de Riemann de $f$ e de $g$, e esticar um gráfico por $k$ estica cada retângulo, e portanto a área, por $k$.

```graph
title: 'Área sob y = 2x² comparada com a área sob y = x² em [0, 2]'
caption: 'Dobrar a função dobra a área: $\int_0^2 2x^2\,dx = 2 \cdot \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$.'
x: [-0.5, 2.5]
y: [-1, 9]
functions:
  - expr: 2x^2
    label: y = 2x²
  - expr: x^2
    label: y = x²
    dashed: true
shade: {expr: 2x^2, from: 0, to: 2}
```

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: um polinômio.** Separe, tire as constantes e aplique a regra da potência inversa a cada parte:

$$\int \left(8x^3 - 6x + 7\right)dx = 8\int x^3\,dx - 6\int x\,dx + \int 7\,dx = 2x^4 - 3x^2 + 7x + C$$

**Exemplo 2: tipos de função misturados.** A linearidade permite combinar regras de famílias diferentes:

$$\int \left(3\cos x - \frac{2}{x} + 4e^x\right)dx = 3\sin x - 2\ln\lvert x\rvert + 4e^x + C$$

**Exemplo 3: separe um quociente primeiro.** Não existe regra do quociente para integrais, mas você pode dividir cada termo pelo denominador:

$$\int \frac{x^2 + 3x - 1}{x}\,dx = \int \left(x + 3 - \frac{1}{x}\right)dx = \frac{x^2}{2} + 3x - \ln\lvert x\rvert + C$$

**Exemplo 4: uma integral definida.** Usando os valores conhecidos $\int_0^1 f(x)\,dx = 4$ e $\int_0^1 g(x)\,dx = -1$:

$$\int_0^1 \left[2f(x) - 5g(x)\right]dx = 2(4) - 5(-1) = 13$$

## O que a linearidade não faz

A linearidade cobre apenas somas e múltiplos constantes. Todas estas igualdades são **falsas** em geral:

| Tentador, mas errado | Por quê |
| --- | --- |
| $\int f g\,dx = \int f\,dx \cdot \int g\,dx$ | Não existe regra do produto para integrais |
| $\int \frac{f}{g}\,dx = \frac{\int f\,dx}{\int g\,dx}$ | Não existe regra do quociente para integrais |
| $\int x\,f(x)\,dx = x\int f(x)\,dx$ | $x$ não é uma constante |
| $\int \frac{1}{f(x)}\,dx = \frac{1}{\int f(x)\,dx}$ | Inversos não passam pela integral |

Quando o integrando é um produto, tente expandi-lo e depois recorra à [integração por substituição](/rules/u-substitution-rule) ou à [integração por partes](/rules/integration-by-parts-rule).

## Erros comuns

1. **Tirar a variável para fora.** Só constantes saem. Em $\int 3x\sin x\,dx$ você pode tirar o $3$, não o $x$.
2. **Integrar um produto fator por fator.** $\int x(x^2+1)\,dx$ precisa ser expandida para $\int (x^3 + x)\,dx = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + C$.
3. **Separar um denominador.** $\frac{1}{x + 1} \ne \frac{1}{x} + 1$. Você pode separar uma fração pelos termos do numerador, nunca do denominador.
4. **Perder um sinal em uma diferença.** Distribua o sinal de menos para todos os termos da segunda integral.

As versões para derivadas são a [regra da constante multiplicativa](/rules/constant-multiple-rule) e a [regra da soma e da diferença](/rules/sum-and-difference-rule). Para praticar mais a combinação dessas regras, veja o guia de [antiderivadas](/blog/antiderivatives).

## Perguntas frequentes

### O que significa a linearidade da integral?

Significa que a integral de $af + bg$ é igual a $a$ vezes a integral de $f$ mais $b$ vezes a integral de $g$, para constantes $a$ e $b$. Na prática, você separa as somas e tira as constantes para fora.

### Posso tirar uma variável para fora da integral?

Não. Só constantes, ou seja, quantidades que não dependem da variável de integração, podem sair. $\int x\cos x\,dx$ não é $x\int\cos x\,dx$.

### A integral de um produto é o produto das integrais?

Não. Por exemplo, $\int x \cdot x\,dx = \frac{x^3}{3} + C$, mas $\int x\,dx \cdot \int x\,dx = \frac{x^4}{4}$ (a menos de constantes). Produtos exigem álgebra ou integração por partes.

### Preciso de um +C separado para cada termo?

Não. As constantes separadas somam uma única constante arbitrária, então você escreve um só $+C$ no final.