# Propriedades da integral definida: regras, simetria e exemplos

> As propriedades da integral definida: inverter os limites, intervalo de largura zero, aditividade, simetria de funções pares e ímpares e comparação.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/regras/propriedades-da-integral-definida
Atualizado: 2026-11-03

$$ \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx $$

## Visão geral

- **Largura zero:** $\int_a^a f(x)\,dx = 0$
- **Limites invertidos:** $\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$
- **Constante:** $\int_a^b k\,dx = k(b - a)$
- **Função ímpar:** $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0$
- **Função par:** $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx$
- **Comparação:** Se $f(x) \le g(x)$ em $[a, b]$, então $\int_a^b f\,dx \le \int_a^b g\,dx$

## Pontos principais

- Trocar os limites de integração muda o sinal da integral.
- Você pode dividir uma integral em qualquer ponto $b$: $\int_a^c = \int_a^b + \int_b^c$.
- Em um intervalo simétrico, a integral de uma função ímpar é $0$ e a de uma função par é o dobro da metade direita.
- Se $m \le f(x) \le M$ em $[a, b]$, então a integral fica entre $m(b-a)$ e $M(b-a)$.

As **propriedades da integral definida** são as regras para manipular $\int_a^b f(x)\,dx$ sem calculá-la do zero: inverter os limites, dividir intervalos, usar simetria e estimar o tamanho. Todas decorrem de ver a integral como área com sinal, ou do [Teorema Fundamental do Cálculo](/blog/fundamental-theorem-of-calculus).

## As propriedades

Suponha que $f$ e $g$ sejam integráveis nos intervalos envolvidos.

| Propriedade | Enunciado |
| --- | --- |
| Largura zero | $\int_a^a f(x)\,dx = 0$ |
| Limites invertidos | $\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$ |
| Constante | $\int_a^b k\,dx = k(b-a)$ |
| Linearidade | $\int_a^b [\alpha f + \beta g]\,dx = \alpha\int_a^b f\,dx + \beta\int_a^b g\,dx$ |
| Aditividade | $\int_a^b f\,dx + \int_b^c f\,dx = \int_a^c f\,dx$ |
| Comparação | $f \le g$ em $[a,b]$ $\Rightarrow$ $\int_a^b f\,dx \le \int_a^b g\,dx$ |
| Limitação | $m \le f \le M$ em $[a,b]$ $\Rightarrow$ $m(b-a) \le \int_a^b f\,dx \le M(b-a)$ |
| Simetria ímpar | $f(-x) = -f(x)$ $\Rightarrow$ $\int_{-a}^{a} f\,dx = 0$ |
| Simetria par | $f(-x) = f(x)$ $\Rightarrow$ $\int_{-a}^{a} f\,dx = 2\int_0^a f\,dx$ |

As propriedades de comparação e de limitação supõem $a < b$. A aditividade vale para **qualquer** ordem de $a$, $b$ e $c$, desde que $f$ seja integrável nos intervalos, graças à regra dos limites invertidos.

## Por que valem

Se $F$ é uma antiderivada (primitiva) de $f$, então $\int_a^b f\,dx = F(b) - F(a)$. A partir daí, cada propriedade é uma linha de álgebra:

- largura zero: $F(a) - F(a) = 0$;
- limites invertidos: $F(a) - F(b) = -\left(F(b) - F(a)\right)$;
- aditividade: $\left(F(b) - F(a)\right) + \left(F(c) - F(b)\right) = F(c) - F(a)$.

A linearidade tem sua própria página: [linearidade da integral](/rules/integral-linearity-rules).

## Simetria: funções pares e ímpares

```graph
title: 'Área com sinal da função ímpar y = x³ − 2x em [−1.5, 1.5]'
caption: 'A área à esquerda é a imagem espelhada da área à direita com o sinal oposto, então $\int_{-1.5}^{1.5} (x^3 - 2x)\,dx = 0$.'
x: [-2, 2]
y: [-2, 2]
functions:
  - expr: x^3 - 2x
    label: y = x³ − 2x
shade: {expr: x^3 - 2x, from: -1.5, to: 1.5}
```

Uma função ímpar é simétrica em relação à origem, então cada pedaço de área positiva tem um pedaço correspondente de área negativa. Uma função par é simétrica em relação ao eixo $y$, então as duas metades são iguais e você pode dobrar uma delas. Verificar a simetria primeiro pode transformar um cálculo longo em uma linha.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: simetria ímpar.** $x^5 - 4x^3 + \sin x$ é ímpar, então

$$\int_{-3}^{3} \left(x^5 - 4x^3 + \sin x\right)dx = 0$$

**Exemplo 2: simetria par.** $x^2$ é par, então

$$\int_{-1}^{1} x^2\,dx = 2\int_0^1 x^2\,dx = 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

**Exemplo 3: aditividade e limites invertidos.** Dados $\int_0^5 f(x)\,dx = 10$ e $\int_0^2 f(x)\,dx = 3$:

$$\int_2^5 f(x)\,dx = 10 - 3 = 7, \qquad \int_5^2 f(x)\,dx = -7$$

**Exemplo 4: um módulo.** Divida onde o conteúdo do módulo muda de sinal. Em $[-1, 0]$, $\lvert x\rvert = -x$; em $[0, 2]$, $\lvert x\rvert = x$:

$$\int_{-1}^{2} \lvert x\rvert\,dx = \int_{-1}^{0} (-x)\,dx + \int_0^2 x\,dx = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$$

**Exemplo 5: estimando com limitações.** Em $[0, 1]$, $e^{-1} \le e^{-x^2} \le 1$, então

$$0.37 \approx e^{-1} \le \int_0^1 e^{-x^2}\,dx \le 1$$

Essa integral não tem antiderivada elementar, mas as limitações a encurralam. Seu valor real é cerca de $0.747$.

## Erros comuns

1. **Usar simetria em um intervalo não simétrico.** $\int_{-1}^{2} x^3\,dx$ não é $0$. O intervalo precisa ser $[-a, a]$.
2. **Dizer que uma função é ímpar sem verificar.** $x^3 + 1$ não é nem ímpar nem par, então $\int_{-1}^{1} (x^3 + 1)\,dx = 2$, não $0$.
3. **Esquecer a troca de sinal** ao inverter os limites.
4. **Confundir área com sinal com área total.** $\int_{-1}^{1} x\,dx = 0$, mas a área sombreada total é $1$. Para área, integre $\lvert f(x)\rvert$, como em [área entre curvas](/blog/area-between-curves).

Para ver como essas propriedades se ligam às somas de Riemann e ao cálculo de integrais, veja os guias de [somas de Riemann](/blog/riemann-sums) e do [Teorema Fundamental do Cálculo](/blog/fundamental-theorem-of-calculus).

## Perguntas frequentes

### O que acontece quando você troca os limites de uma integral definida?

A integral muda de sinal: $\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$. Isso decorre diretamente de calcular $F(a) - F(b)$ em vez de $F(b) - F(a)$.

### Quanto vale a integral de uma função ímpar de -a a a?

Vale $0$, porque a área com sinal à esquerda cancela exatamente a área com sinal à direita. Por exemplo, $\int_{-2}^{2} x^3\,dx = 0$.

### Posso dividir uma integral definida em duas?

Sim. Para qualquer $b$, $\int_a^c f\,dx = \int_a^b f\,dx + \int_b^c f\,dx$. É assim que se integram funções definidas por partes e módulos.

### A integral de a até a é sempre zero?

Sim. Um intervalo de largura zero não tem área, então $\int_a^a f(x)\,dx = 0$ para qualquer função $f$ definida em $a$.