# Regra da cadeia para derivadas: fórmula, exemplos e casos comuns

> A regra da cadeia: a derivada de f(g(x)) é f'(g(x))·g'(x). A fórmula nas duas notações, tabela de casos comuns, exemplos resolvidos e erros.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/regras/regra-da-cadeia
Atualizado: 2026-11-03

$$ \frac{d}{dx}\,f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x) $$

## Visão geral

- **Aplica-se a:** Composições, uma função dentro de outra função
- **Em palavras:** Derivada da função de fora (sem mexer na de dentro) vezes a derivada da função de dentro
- **Notação de Leibniz:** $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$
- **Como reconhecer:** Qualquer coisa diferente de $x$ sozinho dentro de uma potência, raiz, função trigonométrica, exponencial ou logaritmo
- **Versão para integrais:** Integração por substituição (mudança de variável)

## Pontos principais

- Derive a função de fora, mantenha a função de dentro inalterada e multiplique pela derivada da função de dentro.
- Na notação de Leibniz, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$.
- Use-a sempre que a entrada de uma função for algo diferente de $x$ sozinho.
- Com várias camadas, multiplique uma derivada por camada, de fora para dentro.

A **regra da cadeia** deriva uma composição, uma função dentro de outra. Você deriva a função de fora, deixa a função de dentro como está e multiplica pela derivada da função de dentro. Quase toda derivada não trivial a utiliza.

## A fórmula da regra da cadeia

Se $g$ é diferenciável em $x$ e $f$ é diferenciável em $g(x)$, então

$$\frac{d}{dx}\,f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x)$$

Na notação de Leibniz, com $y = f(u)$ e $u = g(x)$:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

Pense em taxas que se multiplicam: se $y$ varia 3 vezes mais rápido que $u$, e $u$ varia 2 vezes mais rápido que $x$, então $y$ varia $3 \cdot 2 = 6$ vezes mais rápido que $x$.

## Casos comuns da regra da cadeia

Aqui $u$ é qualquer função diferenciável de $x$ e $u'$ é sua derivada.

| Função | Derivada |
| --- | --- |
| $u^n$ | $n\,u^{n-1}\,u'$ |
| $\sqrt{u}$ | $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ |
| $e^u$ | $e^u\,u'$ |
| $\ln u$ | $\frac{u'}{u}$ |
| $\sin u$ | $\cos u \cdot u'$ |
| $\cos u$ | $-\sin u \cdot u'$ |
| $\tan u$ | $\sec^2 u \cdot u'$ |

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: potência de um polinômio.** De fora: $u^5$. De dentro: $u = x^2 + 1$, $u' = 2x$:

$$\frac{d}{dx}\,(x^2 + 1)^5 = 5(x^2 + 1)^4 \cdot 2x = 10x(x^2 + 1)^4$$

**Exemplo 2: trigonometria.** De fora: $\sin u$. De dentro: $u = 3x$:

$$\frac{d}{dx}\,\sin(3x) = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)$$

**Exemplo 3: exponencial.** De fora: $e^u$. De dentro: $u = x^2$:

$$\frac{d}{dx}\,e^{x^2} = e^{x^2} \cdot 2x = 2x\,e^{x^2}$$

**Exemplo 4: uma raiz quadrada.** Escreva $\sqrt{4x - 1} = (4x - 1)^{1/2}$:

$$\frac{1}{2}(4x - 1)^{-1/2} \cdot 4 = \frac{2}{\sqrt{4x - 1}}$$

**Exemplo 5: logaritmo.** De fora: $\ln u$. De dentro: $u = \cos x$:

$$\frac{d}{dx}\,\ln(\cos x) = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$$

**Exemplo 6: três camadas.** $\sin^2(5x)$ significa $[\sin(5x)]^2$. Retire as camadas de fora para dentro: quadrado, depois seno, depois $5x$:

$$\frac{d}{dx}\,\sin^2(5x) = 2\sin(5x) \cdot \cos(5x) \cdot 5 = 10\sin(5x)\cos(5x)$$

## Como reconhecer uma composição

Pergunte: "Para calcular isto num número, qual operação eu faria **por último**?" Essa última operação é a função de fora. Tudo aquilo sobre o que ela age é a função de dentro.

- $(3x + 1)^4$: o último passo é elevar à 4ª potência. A de dentro é $3x + 1$.
- $e^{\sin x}$: o último passo é $e^{(\ )}$. A de dentro é $\sin x$.
- $\sin x^2$ normalmente significa $\sin(x^2)$: a de dentro é $x^2$. Já $\sin^2 x$ significa $(\sin x)^2$: a de dentro é $\sin x$.

Se a função de dentro é apenas $x$, a derivada de dentro é $1$ e a regra da cadeia não muda nada.

## Erros comuns

1. **Esquecer a derivada de dentro.** $\frac{d}{dx}\,(3x + 1)^4 = 4(3x + 1)^3 \cdot 3$, e não $4(3x + 1)^3$. Este é o erro de derivação mais comum de todos.
2. **Alterar a função de dentro.** A derivada de fora é calculada na função de dentro original: $\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2) \cdot 2x$, e não $\cos(2x)$.
3. **Confundir com a regra do produto.** $\sin(x^2)$ é uma composição, enquanto $x^2\sin x$ é um produto. Veja a [regra do produto](/rules/product-rule).
4. **Parar depois de uma camada.** Em $e^{\sin(2x)}$ há três camadas, e a resposta $2\cos(2x)\,e^{\sin(2x)}$ precisa das três derivadas.

A regra da cadeia também é o motor por trás da [derivação implícita](/rules/implicit-differentiation), das taxas relacionadas e da [integração por substituição](/rules/u-substitution-rule). Para uma explicação mais longa com mais exercícios, leia o guia completo da [regra da cadeia](/blog/chain-rule).

## Perguntas frequentes

### O que é a regra da cadeia, em palavras simples?

Para uma função dentro de outra, derive a função de fora deixando a de dentro como está e depois multiplique pela derivada da função de dentro.

### Como saber quando usar a regra da cadeia?

Use-a sempre que uma função for aplicada a algo diferente de $x$ sozinho, como $(3x+1)^5$, $\sin(x^2)$ ou $e^{4x}$. Se for preciso calcular um valor interno primeiro, há uma composição.

### Como fica a regra da cadeia na notação de Leibniz?

Se $y$ depende de $u$ e $u$ depende de $x$, então $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$.

### Como usar a regra da cadeia mais de uma vez?

Retire as camadas de fora para dentro e multiplique uma derivada por camada. Para $\sin^2(5x)$ isso dá $2\sin(5x)\cdot\cos(5x)\cdot 5$.