# Regra da constante multiplicativa na derivada: fórmula e exemplos

> A regra da constante multiplicativa: a derivada de c·f(x) é c·f'(x). A fórmula, exemplos resolvidos, uma demonstração rápida e os erros mais comuns.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/regras/regra-da-constante-multiplicativa
Atualizado: 2026-11-03

$$ \frac{d}{dx}\,[c\,f(x)] = c\,f'(x) $$

## Visão geral

- **Aplica-se a:** Uma constante $c$ multiplicando qualquer função diferenciável $f$
- **Em palavras:** Mantenha a constante e derive a função
- **Inclui divisão:** Dividir por uma constante $k$ é multiplicar por $\frac{1}{k}$
- **Versão para integrais:** $\int c\,f(x)\,dx = c \int f(x)\,dx$
- **Regras relacionadas:** Regra da potência, regra da soma, regra do produto

## Pontos principais

- Um fator constante passa direto pela derivada: $(cf)' = cf'$.
- Dividir por uma constante também conta: $\frac{d}{dx}\frac{x^4}{8} = \frac{4x^3}{8} = \frac{x^3}{2}$.
- Você não precisa da regra do produto quando um dos fatores é constante.

A **regra da constante multiplicativa** diz que um fator constante pode ser colocado para fora da derivada. Para derivar $c\,f(x)$, mantenha o $c$ e derive $f$. Junto com a [regra da potência](/rules/power-rule) e a [regra da soma](/rules/sum-and-difference-rule), ela permite derivar qualquer polinômio de cabeça.

## A fórmula da regra da constante multiplicativa

Se $c$ é uma constante e $f$ é diferenciável, então

$$\frac{d}{dx}\,[c\,f(x)] = c\,f'(x)$$

Geometricamente, multiplicar uma função por $c$ estica seu gráfico verticalmente por um fator $c$. Todas as inclinações também são multiplicadas por $c$.

```graph
title: 'Gráficos de y = x² e y = 3x² com retas tangentes em x = 1'
caption: 'Em $x = 1$ a inclinação de $x^2$ é $2$. Triplicar a função triplica a inclinação para $6$.'
x: [-2, 2.5]
y: [-2, 8]
functions:
  - expr: x^2
    label: y = x²
  - expr: 3x^2
    label: y = 3x²
  - expr: 2x - 1
    label: inclinação 2 em x = 1
    dashed: true
  - expr: 6x - 3
    label: inclinação 6 em x = 1
    dashed: true
points:
  - [1, 1, '']
  - [1, 3, '']
```

## Exemplos

| Função | Derivada |
| --- | --- |
| $5x^3$ | $5 \cdot 3x^2 = 15x^2$ |
| $-4\sin x$ | $-4\cos x$ |
| $2e^x$ | $2e^x$ |
| $\frac{x^2}{7}$ | $\frac{2x}{7}$ |
| $\pi x$ | $\pi$ |
| $\frac{3}{x^2} = 3x^{-2}$ | $-6x^{-3} = -\frac{6}{x^3}$ |

**Exemplo: uma constante no denominador.** A função $\frac{1}{3x}$ tem uma variável no denominador, então reescreva-a primeiro como $\frac{1}{3}x^{-1}$:

$$\frac{d}{dx}\,\frac{1}{3}x^{-1} = \frac{1}{3}\cdot(-1)x^{-2} = -\frac{1}{3x^2}$$

**Exemplo: combinada com a regra da soma.** Cada termo mantém seu coeficiente:

$$\frac{d}{dx}\left(6x^4 - \frac{1}{2}x^2 + 3\cos x\right) = 24x^3 - x - 3\sin x$$

## Como reconhecer uma constante multiplicativa

Uma constante multiplicativa é qualquer fator que não muda quando $x$ muda. Procure-a nestes lugares:

- **Um número na frente de um termo**, como o $5$ em $5x^3$ ou o $-4$ em $-4\sin x$.
- **Um número no denominador**, como o $7$ em $\frac{x^2}{7}$. Dividir por $7$ é o mesmo que multiplicar por $\frac{1}{7}$.
- **Uma constante com nome**, como $\pi$, $e^2$ ou $\ln 3$. Parecem funções ou potências, mas não contêm $x$, então são apenas números.
- **Uma letra que representa um valor fixo**, como $a$, $k$ ou $m$ em uma fórmula de física. Em $\frac{d}{dx}\,k x^2 = 2kx$, o $k$ é tratado exatamente como um número.

Se o fator contém $x$ em qualquer lugar, ele não é constante, e você precisa da [regra do produto](/rules/product-rule) ou da [regra do quociente](/rules/quotient-rule).

## Por que a regra da constante multiplicativa funciona

Pela [definição da derivada como limite](/blog/limit-definition-of-the-derivative), a constante sai do quociente de diferenças e depois sai do limite:

$$\lim_{h \to 0} \frac{c\,f(x+h) - c\,f(x)}{h} = c \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = c\,f'(x)$$

O segundo passo usa a propriedade da constante multiplicativa dos limites, uma das [propriedades dos limites](/rules/limit-laws).

## Linearidade

A regra da constante multiplicativa e a regra da soma, juntas, dizem que a derivação é **linear**:

$$\frac{d}{dx}\,[a\,f(x) + b\,g(x)] = a\,f'(x) + b\,g'(x)$$

para quaisquer constantes $a$ e $b$. A integração tem a mesma propriedade, e é por isso que $\int 5x^2\,dx = 5\int x^2\,dx$.

## Erros comuns

1. **Usar a regra do produto quando não é necessário.** Para $7x^3$ a regra do produto dá $0 \cdot x^3 + 7 \cdot 3x^2$, o que está correto, mas é lento. Escreva direto $21x^2$.
2. **Confundir com a regra da constante.** $\frac{d}{dx}\,8x = 8$, não $0$. Só uma constante sozinha vira $0$.
3. **Tirar uma constante de dentro do argumento da função.** $\sin(3x)$ não é $3\sin x$. Uma constante dentro da função exige a [regra da cadeia](/rules/chain-rule): $\frac{d}{dx}\sin(3x) = 3\cos(3x)$.
4. **Tratar uma variável como constante.** Em $x\,e^x$, o $x$ não é constante, então você precisa da [regra do produto](/rules/product-rule).

Para praticar mais a combinação dessas regras, veja o guia completo da [regra da potência](/blog/power-rule).

## Perguntas frequentes

### O que é a regra da constante multiplicativa?

Ela diz que $\frac{d}{dx}[c\,f(x)] = c\,f'(x)$. Uma constante que multiplica uma função fica na frente, e você deriva apenas a função.

### Qual a diferença entre a regra da constante e a regra da constante multiplicativa?

A regra da constante diz que uma constante sozinha tem derivada $0$. A regra da constante multiplicativa diz que uma constante que multiplica uma função é mantida, então $\frac{d}{dx}\,5 = 0$, mas $\frac{d}{dx}\,5x = 5$.

### Posso usar a regra do produto no lugar dela?

Sim, dá a mesma resposta porque a derivada da constante é $0$, mas dá mais trabalho. A regra da constante multiplicativa é o atalho.

### A regra da constante multiplicativa vale com uma constante no denominador?

Sim. $\frac{f(x)}{k}$ é $\frac{1}{k}f(x)$, então sua derivada é $\frac{f'(x)}{k}$. Uma variável no denominador é outra história e exige a regra da potência ou a regra do quociente.