# Regra da constante para derivadas: por que a derivada de c é 0

> A regra da constante diz que a derivada de qualquer constante é 0. A fórmula, uma demonstração de uma linha, exemplos com π e e, e os erros a evitar.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/regras/regra-da-constante
Atualizado: 2026-11-03

$$ \frac{d}{dx}\, c = 0 $$

## Visão geral

- **Aplica-se a:** Qualquer expressão que não dependa de $x$, como $7$, $\pi$, $e^2$ ou $\ln 5$
- **Em palavras:** Uma constante nunca muda, então sua taxa de variação é zero
- **Significado no gráfico:** O gráfico de $y = c$ é uma reta horizontal, que tem inclinação $0$ em todo ponto
- **Versão para integrais:** $\int 0\,dx = C$, e é por isso que as antiderivadas terminam com $+\,C$
- **Regras relacionadas:** Regra da potência, regra da constante multiplicativa, regra da soma

## Pontos principais

- A derivada de qualquer constante é $0$: $\frac{d}{dx}\,c = 0$.
- Números como $\pi$, $e^3$ e $\ln 2$ são constantes, então suas derivadas também são $0$.
- Uma constante somada a uma função desaparece quando você deriva. Uma constante multiplicando uma função permanece.

A **regra da constante** diz que a derivada de uma constante é zero. Uma constante nunca muda, então sua taxa de variação é $0$ em todo lugar. É a regra de derivação mais simples, e aparece discretamente em quase toda derivada que você calcula.

## A fórmula da regra da constante

Para qualquer constante $c$:

$$\frac{d}{dx}\, c = 0$$

"Constante" significa qualquer coisa que não dependa da variável em relação à qual você está derivando. Isso inclui números comuns, mas também expressões como $\pi^2$, $e^3$, $\sqrt{7}$, $\sin 1$ e $\ln 5$.

```graph
title: 'Gráfico da função constante y = 3 e de sua derivada y = 0'
caption: 'A reta $y = 3$ é horizontal, então sua inclinação em todo ponto é $0$. A derivada é a reta $y = 0$.'
x: [-4, 4]
y: [-1, 4]
functions:
  - expr: '3'
    label: y = 3
  - expr: '0'
    label: y = 0 (derivada)
    dashed: true
```

## Exemplos

| Função | Por que é constante | Derivada |
| --- | --- | --- |
| $7$ | Um número | $0$ |
| $-12.5$ | Um número | $0$ |
| $\pi$ | Um número, aproximadamente $3.14$ | $0$ |
| $e^3$ | Não há $x$ em lugar nenhum | $0$ |
| $\ln 5$ | Não há $x$ em lugar nenhum | $0$ |
| $\sin\frac{\pi}{6}$ | É igual a $\frac{1}{2}$ | $0$ |

**Exemplo: termo constante de um polinômio.** Com a [regra da soma](/rules/sum-and-difference-rule), cada termo é derivado separadamente e o termo constante some:

$$\frac{d}{dx}\left(x^2 + 4x + 9\right) = 2x + 4 + 0 = 2x + 4$$

**Exemplo: um parâmetro.** Se $a$ e $b$ são constantes, então

$$\frac{d}{dx}\left(a^2 + bx\right) = 0 + b = b$$

O $a^2$ parece uma potência, mas não depende de $x$, então é uma constante.

## Por que a regra da constante funciona

Use a [definição de derivada por limite](/blog/limit-definition-of-the-derivative) com $f(x) = c$:

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{c - c}{h} = \lim_{h \to 0} 0 = 0$$

Também dá para vê-la como um caso particular da [regra da potência](/rules/power-rule): $c = c\,x^0$, e $\frac{d}{dx}\,c\,x^0 = c \cdot 0 \cdot x^{-1} = 0$ (para $x \ne 0$).

## Constantes somadas vs constantes multiplicadas

É aqui que a regra da constante encontra a [regra da constante multiplicativa](/rules/constant-multiple-rule):

| Expressão | Derivada | Motivo |
| --- | --- | --- |
| $x^3 + 5$ | $3x^2$ | Uma constante somada desaparece |
| $5x^3$ | $15x^2$ | Uma constante multiplicada permanece |
| $5$ | $0$ | Regra da constante |
| $5x$ | $5$ | Constante vezes $x$ |

Deslocar um gráfico para cima ou para baixo somando uma constante não muda sua inclinação em nenhum ponto, e é exatamente por isso que constantes somadas desaparecem. Esticar um gráfico por um fator multiplica toda inclinação por esse fator, e é por isso que constantes multiplicadas permanecem.

## A regra da constante ao contrário

Como toda constante tem derivada $0$, muitas funções têm a mesma derivada: $x^2$, $x^2 + 1$ e $x^2 - 8$ têm todas derivada $2x$. Por isso, ao integrar, você precisa somar uma constante arbitrária:

$$\int 2x\,dx = x^2 + C$$

Veja [antiderivadas](/blog/antiderivatives) para entender melhor por que o $+\,C$ é obrigatório.

## Erros comuns

1. **Tratar expressões constantes como variáveis.** $\frac{d}{dx}\,e^2 = 0$, e não $2e$ nem $e^2$. O expoente é um número, não $x$.
2. **Zerar uma constante multiplicativa.** $\frac{d}{dx}\,4x = 4$, e não $0$. Só uma constante sozinha, ou somada, vira $0$.
3. **Confundir qual variável está mudando.** $\frac{d}{dx}\,t^2 = 0$ quando $t$ é uma constante, mas $\frac{d}{dt}\,t^2 = 2t$. Sempre confira a variável no denominador de $\frac{d}{d\square}$.

A regra da constante costuma ser combinada com a [regra da potência](/rules/power-rule) e a [regra da soma](/rules/sum-and-difference-rule). Veja o guia completo da [regra da potência](/blog/power-rule) para praticar as três juntas.

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de uma constante?

Zero. Uma função constante tem gráfico horizontal, e uma reta horizontal tem inclinação $0$ em todo ponto.

### Qual é a derivada de pi?

$\pi$ é um número, aproximadamente $3.14159$, então $\frac{d}{dx}\,\pi = 0$. O mesmo vale para $\pi^2$, $e$, $e^5$ e $\sqrt{2}$.

### Por que a derivada de 5x não é 0?

$5x$ é uma constante vezes $x$, não uma constante. Pela regra da constante multiplicativa, sua derivada é $5 \cdot 1 = 5$.

### Por que as antiderivadas têm um + C?

Como a derivada de toda constante é $0$, funções como $x^2$, $x^2 + 3$ e $x^2 - 10$ têm todas derivada $2x$. O $+\,C$ representa essa família inteira.