# Regra da potência inversa para integrais: fórmula, exemplos e n = −1

> A regra da potência inversa: a integral de x^n é x^(n+1)/(n+1) + C para n ≠ −1. Fórmula, exemplos com raízes e potências negativas, e a exceção ln|x|.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/regras/regra-da-potencia-inversa
Atualizado: 2026-11-03

$$ \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \ne -1 $$

## Visão geral

- **Aplica-se a:** Qualquer potência de $x$ com expoente constante $n \ne -1$
- **Em palavras:** Some um ao expoente e depois divida pelo novo expoente
- **Exceção:** $\int x^{-1}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C$
- **Verificação:** Derive a resposta com a regra da potência; você deve obter $x^n$ de volta
- **Regras relacionadas:** Regra da potência, linearidade da integral, integração por substituição

## Pontos principais

- A antiderivada (primitiva) de $x^n$ é $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ para toda constante $n \ne -1$.
- Reescreva raízes e frações como potências primeiro: $\sqrt{x} = x^{1/2}$ e $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$.
- O caso $n = -1$ é especial: $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C$.
- Toda integral indefinida precisa de um $+ C$.

A **regra da potência inversa** encontra a antiderivada (primitiva) de qualquer potência de $x$. É a [regra da potência](/rules/power-rule) ao contrário: em vez de diminuir o expoente e multiplicar, você aumenta o expoente e divide.

## A fórmula da regra da potência inversa

Para qualquer expoente constante $n \ne -1$:

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

Dois movimentos: **some um** ao expoente e depois **divida** pelo novo expoente. O $+C$ aparece porque toda função tem infinitas antiderivadas que diferem por uma constante.

Você sempre pode conferir a resposta derivando-a:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right) = \frac{(n+1)x^{n}}{n+1} = x^n$$

```graph
title: 'Gráfico de y = x² e de suas antiderivadas y = x³/3 + C'
caption: 'Cada curva tracejada é $\frac{x^3}{3} + C$ para um $C$ diferente. Elas são translações verticais umas das outras, e todas têm inclinação $x^2$ em cada $x$.'
x: [-2.5, 2.5]
y: [-4, 5]
functions:
  - expr: x^2
    label: y = x²
  - expr: x^3/3
    label: y = x³/3
    dashed: true
  - expr: x^3/3 + 2
    label: y = x³/3 + 2
    dashed: true
  - expr: x^3/3 - 2
    label: y = x³/3 − 2
    dashed: true
```

## Exemplos

| Integrando | Reescrita | Antiderivada |
| --- | --- | --- |
| $x^4$ | $x^4$ | $\frac{x^5}{5} + C$ |
| $x$ | $x^1$ | $\frac{x^2}{2} + C$ |
| $5$ | $5x^0$ | $5x + C$ |
| $\sqrt{x}$ | $x^{1/2}$ | $\frac{2}{3}x^{3/2} + C$ |
| $\frac{1}{x^3}$ | $x^{-3}$ | $-\frac{1}{2x^2} + C$ |
| $\frac{1}{\sqrt{x}}$ | $x^{-1/2}$ | $2\sqrt{x} + C$ |
| $\frac{1}{x}$ | $x^{-1}$ | $\ln\lvert x\rvert + C$ (exceção) |

**Exemplo: um polinômio.** Combine a regra com a [linearidade](/rules/integral-linearity-rules) e integre termo a termo:

$$\int \left(6x^2 - 4x + 3\right)dx = 2x^3 - 2x^2 + 3x + C$$

**Exemplo: uma potência negativa.** Reescreva $\frac{4}{x^5}$ como $4x^{-5}$:

$$\int 4x^{-5}\,dx = 4 \cdot \frac{x^{-4}}{-4} + C = -\frac{1}{x^4} + C$$

O expoente sobe de $-5$ para $-4$. Somar um a um número negativo o torna menos negativo.

**Exemplo: uma potência fracionária.** Para $\int \sqrt[3]{x}\,dx$, escreva $x^{1/3}$. O novo expoente é $\frac{4}{3}$, e dividir por $\frac{4}{3}$ significa multiplicar por $\frac{3}{4}$:

$$\int x^{1/3}\,dx = \frac{3}{4}x^{4/3} + C$$

## A exceção n = −1

Quando $n = -1$, a fórmula pede uma divisão por zero, então ela falha. A antiderivada de $x^{-1}$ é o logaritmo natural:

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C$$

O valor absoluto faz a resposta valer também para $x$ negativo. É por isso que $\frac{1}{x}$ tem sua própria linha em toda tabela de integrais.

## Quando usar a regra da potência inversa

Use quando o integrando for uma soma de termos da forma $kx^n$, possivelmente depois de reescrever:

- polinômios, um termo de cada vez;
- raízes, depois de convertê-las em expoentes fracionários;
- termos com $x$ no denominador, depois de convertê-los em expoentes negativos;
- produtos ou quocientes que você pode **expandir ou separar** antes, como $\frac{x^3 + 1}{x} = x^2 + x^{-1}$.

Se a base for algo diferente de $x$ sozinho, como $(3x-2)^5$, você precisa da [integração por substituição](/rules/u-substitution-rule). Se a variável estiver no expoente, como em $2^x$, você precisa da regra da exponencial $\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$.

## Erros comuns

1. **Dividir pelo expoente antigo.** $\int x^3\,dx = \frac{x^4}{4} + C$, não $\frac{x^4}{3} + C$.
2. **Aplicá-la a produtos.** $\int x(x+1)\,dx$ não é $\frac{x^2}{2}\cdot\left(\frac{x^2}{2}+x\right)$. Expanda para $x^2 + x$ primeiro.
3. **Usá-la em $\frac{1}{x}$.** $\int x^{-1}\,dx$ é $\ln\lvert x\rvert + C$, não $\frac{x^0}{0}$.
4. **Esquecer o $+C$.** Uma integral indefinida é uma família inteira de funções.
5. **Tratar a potência de um binômio como uma potência de $x$.** $\int (2x+1)^3\,dx \ne \frac{(2x+1)^4}{4} + C$. Derivar essa resposta gera um fator $2$ a mais.

Para uma visão geral das antiderivadas, incluindo as regras trigonométricas e exponenciais, leia o guia completo de [antiderivadas](/blog/antiderivatives).

## Perguntas frequentes

### O que é a regra da potência inversa?

É a versão da regra da potência para integração: $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ para $n \ne -1$. Você aumenta o expoente em um e divide pelo novo expoente.

### Por que a regra da potência inversa não funciona para 1/x?

Para $n = -1$ a fórmula dividiria por $n + 1 = 0$. A antiderivada de $\frac{1}{x}$ é, em vez disso, $\ln\lvert x\rvert + C$.

### Como integrar uma raiz quadrada com a regra da potência?

Escreva $\sqrt{x}$ como $x^{1/2}$. Então $\int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$.

### Qual é a integral de uma constante?

Uma constante $k$ é $kx^0$, então a regra dá $\int k\,dx = kx + C$.

### Posso usar a regra da potência inversa em (2x + 1)^3?

Não diretamente, porque a base não é só $x$. Use integração por substituição com $u = 2x + 1$, o que dá $\frac{(2x+1)^4}{8} + C$, ou expanda o cubo primeiro.