# Regra da potência para derivadas: fórmula, exemplos e demonstração > A regra da potência: a derivada de x^n é n·x^(n−1). Fórmula, exemplos com expoentes negativos e fracionários, uma demonstração curta e erros comuns. Fonte: https://practicecalculus.com/pt/regras/regra-da-potencia Atualizado: 2026-11-03 $$ \frac{d}{dx}\, x^n = n\,x^{n-1} $$ ## Visão geral - **Aplica-se a:** Qualquer potência de $x$ com expoente constante $n$ (positivo, negativo, fracionário ou decimal) - **Em palavras:** Desça o expoente para a frente e depois subtraia um do expoente - **Não se aplica a:** Exponenciais como $2^x$ ou $e^x$, em que a variável está no expoente - **Versão para integrais:** $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ para $n \ne -1$ - **Regras relacionadas:** Regra da constante multiplicativa, regra da soma, regra da cadeia ## Pontos principais - A derivada de $x^n$ é $nx^{n-1}$ para qualquer expoente constante $n$. - Reescreva raízes e frações como potências primeiro: $\sqrt{x} = x^{1/2}$ e $\frac{1}{x^3} = x^{-3}$. - A regra da potência não se aplica a funções exponenciais como $2^x$. A **regra da potência** é o primeiro atalho de derivação que a maioria dos estudantes aprende, e o mais usado. Ela deriva qualquer potência de $x$ em um único passo, sem precisar de limites. ## A fórmula da regra da potência Para qualquer expoente constante $n$: $$\frac{d}{dx}\, x^n = n\,x^{n-1}$$ Dois movimentos: **desça o expoente** como coeficiente e depois **subtraia um** do expoente. ```graph title: 'Gráfico de y = x³ e de sua derivada y = 3x²' caption: 'Onde $x^3$ é íngreme, sua derivada $3x^2$ é grande. Em $x = 0$ a curva fica momentaneamente plana, e $3x^2 = 0$.' x: [-2.2, 2.2] y: [-6, 8] functions: - expr: x^3 label: y = x³ - expr: 3x^2 label: y = 3x² (derivada) dashed: true ``` ## Exemplos | Função | Reescrita | Derivada | | --- | --- | --- | | $x^5$ | $x^5$ | $5x^4$ | | $x$ | $x^1$ | $1$ | | $7$ | $7x^0$ | $0$ | | $\frac{1}{x^2}$ | $x^{-2}$ | $-2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$ | | $\sqrt{x}$ | $x^{1/2}$ | $\frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ | | $\sqrt[3]{x^2}$ | $x^{2/3}$ | $\frac{2}{3}x^{-1/3}$ | **Exemplo: um polinômio.** Combine a regra da potência com a [regra da soma](/rules/sum-and-difference-rule) e a [regra da constante multiplicativa](/rules/constant-multiple-rule): $$\frac{d}{dx}\left(4x^3 - 5x^2 + 2x - 9\right) = 12x^2 - 10x + 2$$ **Exemplo: uma potência negativa.** Para derivar $f(x) = \frac{3}{x^4}$, reescreva como $3x^{-4}$: $$f'(x) = 3 \cdot (-4)x^{-5} = -\frac{12}{x^5}$$ Repare que o expoente vai de $-4$ para $-5$, e não para $-3$. Subtrair um de um número negativo o torna mais negativo. ## Quando usar a regra da potência Use sempre que vir uma variável elevada a uma potência **constante**, depois de qualquer reescrita. Na prática, isso significa: - polinômios, um termo de cada vez; - raízes, depois de convertê-las em expoentes fracionários; - termos com $x$ no denominador, depois de convertê-los em expoentes negativos; - a camada externa de uma função como $(x^2+1)^5$, junto com a regra da cadeia. Se o expoente contém $x$, como em $x^x$ ou $3^x$, a regra da potência é a ferramenta errada. Esses casos pedem as regras da exponencial ou a derivação logarítmica. ## A regra da potência ao contrário: integração A integração desfaz a derivação, então a regra da potência tem uma imagem espelhada. Para integrar $x^n$, **some um** ao expoente e depois **divida** pelo novo expoente: $$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \qquad n \ne -1$$ Por exemplo, $\int x^3\,dx = \frac{x^4}{4} + C$. A única exceção é $n = -1$, em que $\int x^{-1}\,dx = \ln|x| + C$. Veja a [regra da potência inversa](/rules/reverse-power-rule). ## Por que a regra da potência funciona Para um expoente inteiro, expanda $(x+h)^n$ pelo binômio de Newton dentro da [definição da derivada por limite](/blog/limit-definition-of-the-derivative): $$\frac{(x+h)^n - x^n}{h} = \frac{nx^{n-1}h + \binom{n}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n}{h} = nx^{n-1} + h(\ldots)$$ Quando $h \to 0$, todo termo que contém $h$ desaparece, restando $nx^{n-1}$. A regra se estende a todos os expoentes reais por derivação logarítmica. ## Erros comuns 1. **Subtrair um antes de descer o expoente.** $\frac{d}{dx}x^4$ é $4x^3$, não $3x^3$. 2. **Usá-la em exponenciais.** $\frac{d}{dx}2^x \ne x \cdot 2^{x-1}$. A variável está no expoente, então você precisa da [regra da exponencial](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions). 3. **Não reescrever antes.** Você não pode aplicar a regra da potência a $\frac{1}{x^2}$ até escrevê-la como $x^{-2}$. 4. **Esquecer a regra da cadeia.** Para $(3x+1)^4$, a regra da potência dá só parte da resposta. Você também multiplica pela derivada de dentro, $3$. Veja a [regra da cadeia](/rules/chain-rule). Para uma explicação mais longa com mais exercícios, leia o guia completo da [regra da potência](/blog/power-rule). ## Perguntas frequentes ### O que é a regra da potência no cálculo? A regra da potência é o atalho de derivação $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$. Você multiplica pelo expoente e depois diminui o expoente em um. ### A regra da potência vale para expoentes negativos e fracionários? Sim. Ela vale para qualquer expoente real constante. Por exemplo, $\frac{d}{dx}x^{-2} = -2x^{-3}$ e $\frac{d}{dx}x^{1/2} = \frac{1}{2}x^{-1/2}$. ### Qual é a derivada de uma constante pela regra da potência? Uma constante $c$ pode ser escrita como $cx^0$, e a regra da potência dá $0 \cdot cx^{-1} = 0$. A derivada de qualquer constante é zero. ### Por que a regra da potência não funciona para 2^x? Em $2^x$ a variável está no expoente, então é uma função exponencial, não uma potência. Sua derivada é $2^x \ln 2$.