# Regra da soma e da diferença para derivadas: fórmula e exemplos

> A regra da soma e da diferença: derive uma soma ou diferença termo a termo. A fórmula, exemplos resolvidos, uma demonstração e onde os alunos erram.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/regras/regra-da-soma-e-diferenca
Atualizado: 2026-11-03

$$ \frac{d}{dx}\,[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x) $$

## Visão geral

- **Aplica-se a:** Qualquer soma ou diferença de funções diferenciáveis, com qualquer número de termos
- **Em palavras:** Derive termo a termo e mantenha os sinais de mais e de menos
- **Combinada com:** A regra da constante multiplicativa, dando $(af + bg)' = af' + bg'$
- **Não se aplica a:** Produtos e quocientes, que precisam das regras do produto e do quociente
- **Versão para integrais:** $\int [f(x) \pm g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$

## Pontos principais

- A derivada de uma soma é a soma das derivadas, e o mesmo vale para diferenças.
- Funciona para qualquer número de termos, e é assim que se derivam polinômios termo a termo.
- Não existe atalho equivalente para produtos: $(fg)' \ne f'g'$.

A **regra da soma e da diferença** diz que você pode derivar uma soma ou diferença um termo de cada vez. A derivada de $f + g$ é $f' + g'$, e a derivada de $f - g$ é $f' - g'$. É a regra que torna os polinômios fáceis.

## A fórmula da regra da soma e da diferença

Se $f$ e $g$ são diferenciáveis, então

$$\frac{d}{dx}\,[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)$$

$$\frac{d}{dx}\,[f(x) - g(x)] = f'(x) - g'(x)$$

A regra vale para qualquer número de termos. Combinada com a [regra da constante multiplicativa](/rules/constant-multiple-rule), ela diz que a derivação é **linear**:

$$\frac{d}{dx}\,[a\,f(x) + b\,g(x)] = a\,f'(x) + b\,g'(x)$$

## Exemplos

**Exemplo 1: um polinômio.** Use a [regra da potência](/rules/power-rule) em cada termo e a [regra da constante](/rules/constant-rule) na constante:

$$\frac{d}{dx}\left(3x^2 - 5x + 8\right) = 6x - 5 + 0 = 6x - 5$$

**Exemplo 2: tipos de função misturados.** Cada termo usa sua própria regra:

$$\frac{d}{dx}\left(x^4 + \sin x - e^x\right) = 4x^3 + \cos x - e^x$$

**Exemplo 3: uma diferença com logaritmo.**

$$\frac{d}{dx}\left(2\ln x - \sqrt{x}\right) = \frac{2}{x} - \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

**Exemplo 4: separe a fração primeiro.** Quando o denominador tem um único termo, divida cada termo do numerador por ele e depois use a regra da soma:

$$\frac{x^2 + 1}{x} = x + x^{-1} \quad\Rightarrow\quad \frac{d}{dx}\left(x + x^{-1}\right) = 1 - x^{-2} = 1 - \frac{1}{x^2}$$

Isso evita completamente a [regra do quociente](/rules/quotient-rule).

```graph
title: 'Gráfico de y = x³ − 3x e de sua derivada y = 3x² − 3'
caption: 'Derivar termo a termo dá $3x^2 - 3$. Ela se anula em $x = \pm 1$, exatamente onde $x^3 - 3x$ tem seus pontos de virada.'
x: [-2.5, 2.5]
y: [-4, 6]
functions:
  - expr: x^3 - 3x
    label: y = x³ − 3x
  - expr: 3x^2 - 3
    label: y = 3x² − 3 (derivada)
    dashed: true
points:
  - [-1, 2, '(−1, 2)']
  - [1, -2, '(1, −2)']
```

## Por que a regra da soma funciona

Na [definição de derivada por limite](/blog/limit-definition-of-the-derivative), reagrupe o quociente de diferenças em dois quocientes de diferenças:

$$\frac{[f(x+h) + g(x+h)] - [f(x) + g(x)]}{h} = \frac{f(x+h) - f(x)}{h} + \frac{g(x+h) - g(x)}{h}$$

Quando $h \to 0$, a propriedade da soma para limites (veja as [propriedades dos limites](/rules/limit-laws)) transforma o lado direito em $f'(x) + g'(x)$. A regra da diferença é o mesmo argumento com sinal de menos.

## O que a regra da soma não cobre

A regra da soma é tão natural que às vezes os alunos supõem que produtos e quocientes se comportam da mesma forma. Não se comportam:

| Expressão | Regra correta | Derivada correta |
| --- | --- | --- |
| $x^2 + \sin x$ | Regra da soma | $2x + \cos x$ |
| $x^2 \sin x$ | [Regra do produto](/rules/product-rule) | $2x\sin x + x^2\cos x$ |
| $\frac{x^2}{\sin x}$ | [Regra do quociente](/rules/quotient-rule) | $\frac{2x\sin x - x^2\cos x}{\sin^2 x}$ |
| $\sin(x^2)$ | [Regra da cadeia](/rules/chain-rule) | $2x\cos(x^2)$ |

Confira que a derivada de $x^2 \sin x$ não é $2x\cos x$: por exemplo, em $x = \frac{\pi}{2}$ a derivada correta é $\pi$, enquanto $2x\cos x$ dá $0$.

## Erros comuns

1. **Perder um sinal de menos.** Em $\frac{d}{dx}(x^3 - \cos x)$, a derivada de $\cos x$ é $-\sin x$, então a resposta é $3x^2 + \sin x$. Acompanhe os dois sinais.
2. **Estender a regra para produtos.** $(fg)' \ne f'g'$. Use a regra do produto.
3. **Separar uma fração com soma no denominador.** $\frac{1}{x + 1} \ne \frac{1}{x} + 1$. Só dá para separar quando o denominador tem um único termo.

Para um conjunto completo de exemplos com polinômios e a regra da potência, leia o guia completo da [regra da potência](/blog/power-rule).

## Perguntas frequentes

### O que é a regra da soma para derivadas?

A regra da soma diz que $\frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)$. Você deriva cada termo separadamente e soma os resultados.

### A regra da soma funciona para mais de dois termos?

Sim. Aplique-a repetidamente e cada termo é derivado separadamente. É por isso que um polinômio pode ser derivado termo a termo.

### A derivada de um produto é o produto das derivadas?

Não. A regra da soma não tem versão para produtos. A derivada de $f(x)g(x)$ é $f'g + fg'$ pela regra do produto.

### Posso separar uma fração para usar a regra da soma?

Sim, quando o denominador tem um único termo. Por exemplo, $\frac{x^3 + 2}{x} = x^2 + 2x^{-1}$, cuja derivada é $2x - 2x^{-2}$.