# Regra de L'Hôpital: fórmula, condições e exemplos resolvidos

> A regra de L'Hôpital calcula limites 0/0 e ∞/∞ derivando o numerador e o denominador. As condições exatas, exemplos e outras indeterminações.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/regras/regra-de-lhopital
Atualizado: 2026-11-03

$$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$

## Visão geral

- **Aplica-se a:** Limites com indeterminação do tipo $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$
- **Em palavras:** Derive o numerador e o denominador separadamente e calcule o limite de novo
- **Também exige:** Que o novo limite $\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ exista ou seja $\pm\infty$
- **Vale para:** $x \to a$, limites laterais e $x \to \pm\infty$
- **Outras indeterminações:** $0 \cdot \infty$, $\infty - \infty$, $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$ depois de reescrever

## Pontos principais

- Use a regra de L'Hôpital só em $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$. Verifique a forma antes, sempre.
- Derive o numerador e o denominador separadamente. Isso não é a regra do quociente.
- Você pode aplicar a regra várias vezes enquanto a forma continuar indeterminada.
- Reescreva $0 \cdot \infty$, $\infty - \infty$ e as indeterminações com expoente como uma fração antes de usá-la.

A **regra de L'Hôpital** calcula limites de frações que resultam em $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$. Em vez da fração original, você calcula o limite da derivada do numerador sobre a derivada do denominador. Muitas vezes é o caminho mais rápido para um limite que a álgebra não simplifica com facilidade.

## A regra e suas condições

Suponha que $f$ e $g$ sejam diferenciáveis em um intervalo aberto em torno de $a$ (exceto possivelmente em $a$) e que $g'(x) \ne 0$ ali para $x \ne a$. Se

$$\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0 \quad \text{ou} \quad \lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty,\ \lim_{x \to a} g(x) = \pm\infty$$

então

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

desde que o limite da direita exista ou seja $\pm\infty$. O mesmo vale para limites laterais e para $x \to \infty$ ou $x \to -\infty$.

Se o limite da direita não existe, a regra não diz nada. O limite original ainda pode existir.

```graph
title: 'Gráfico de y = sin(x)/x se aproximando de 1 em x = 0'
caption: 'Em $x = 0$ a fração é $\frac{0}{0}$. A regra de L''Hôpital dá $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$, de acordo com o gráfico.'
x: [-10, 10]
y: [-0.5, 1.3]
functions:
  - expr: sin(x)/x
    label: y = sin(x)/x
points:
  - [0, 1, '(0, 1)', open]
```

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: $\frac{0}{0}$.** Em $x = 0$, $\frac{\sin x}{x}$ é $\frac{0}{0}$:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$$

(A própria derivada de $\sin x$ é demonstrada usando esse limite, então em um curso com demonstrações você usaria o Teorema do Confronto. Para fazer contas, o atalho serve.)

**Exemplo 2: aplicando a regra duas vezes.** Cada passo ainda é $\frac{0}{0}$ até o último:

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}$$

**Exemplo 3: $\frac{\infty}{\infty}$.** Quando $x \to \infty$, tanto $\ln x$ quanto $x$ crescem sem limite:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{1} = 0$$

Logo $x$ cresce mais rápido que $\ln x$.

**Exemplo 4: $0 \cdot \infty$.** Reescreva o produto como uma fração primeiro. Quando $x \to 0^+$, $x \ln x$ tem a forma $0 \cdot (-\infty)$:

$$\lim_{x \to 0^+} x \ln x = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$$

## Outras indeterminações

| Forma | Como reescrever |
| --- | --- |
| $0 \cdot \infty$ | Escreva $fg$ como $\frac{f}{1/g}$ ou $\frac{g}{1/f}$ |
| $\infty - \infty$ | Junte em uma única fração (denominador comum ou conjugado) |
| $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$ | Faça $y = f^g$, tome $\ln y = g \ln f$, encontre esse limite e depois tome a exponencial |

Por exemplo, com $y = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ você obtém $\ln y = \frac{\ln(1 + 1/x)}{1/x}$, que é $\frac{0}{0}$ quando $x \to \infty$. A regra dá $\ln y \to 1$, então $y \to e$.

## Erros comuns

1. **Usar a regra quando a forma não é indeterminada.** $\lim_{x \to 0} \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{1}{2}$ por [substituição direta](/rules/direct-substitution). Derivar daria, erradamente, $1$.
2. **Usar a regra do quociente.** Derive $f$ e $g$ separadamente. Não calcule a derivada de $\frac{f}{g}$ com a [regra do quociente](/rules/quotient-rule).
3. **Pular a reescrita.** A regra só se aplica a uma fração. Transforme produtos, diferenças e potências em uma fração primeiro.
4. **Não verificar a forma de novo.** Antes de cada nova aplicação, confirme que o novo limite ainda é $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$.

Para mais exemplos, incluindo limites no infinito e indeterminações com expoente, leia o guia completo da [regra de L'Hôpital](/blog/lhopitals-rule).

## Perguntas frequentes

### Quando posso usar a regra de L'Hôpital?

Quando a substituição direta dá $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$, $f$ e $g$ são diferenciáveis perto do ponto, $g'(x) \ne 0$ perto dele e o limite de $\frac{f'}{g'}$ existe ou é infinito.

### A regra de L'Hôpital é a mesma coisa que a regra do quociente?

Não. A regra de L'Hôpital toma a derivada do numerador e a derivada do denominador separadamente. A regra do quociente calcula a derivada da fração inteira e não tem nada a ver com esse limite.

### Posso usar a regra de L'Hôpital mais de uma vez?

Sim. Se o novo limite ainda é $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$, aplique a regra de novo. Verifique a forma antes de cada aplicação.

### Como usar a regra de L'Hôpital na indeterminação 1 elevado a infinito?

Tome o logaritmo natural para transformar a potência em um produto, reescreva esse produto como uma fração, aplique a regra e depois tome a exponencial do resultado.