# Regra do produto para derivadas: fórmula, exemplos e demonstração

> A regra do produto: a derivada de f·g é f'g + fg'. A fórmula, exemplos resolvidos, a versão com três fatores, uma demonstração curta e erros comuns.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/regras/regra-do-produto
Atualizado: 2026-11-03

$$ \frac{d}{dx}\,[f(x)\,g(x)] = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x) $$

## Visão geral

- **Aplica-se a:** Um produto de duas funções diferenciáveis, ambas dependendo de $x$
- **Em palavras:** Derivada da primeira vezes a segunda, mais a primeira vezes a derivada da segunda
- **Três fatores:** $(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'$
- **Desnecessária quando:** Um dos fatores é constante (use a regra da constante multiplicativa)
- **Versão para integrais:** Integração por partes

## Pontos principais

- A derivada de $fg$ é $f'g + fg'$, e não $f'g'$.
- Cada termo deriva um fator e deixa o outro como está.
- Dispense a regra do produto quando um fator for constante, e considere expandir produtos simples de polinômios.

A **regra do produto** diz como derivar duas funções multiplicadas. A derivada de um produto **não** é o produto das derivadas. Em vez disso, você deriva um fator de cada vez e soma os resultados.

## A fórmula da regra do produto

Se $f$ e $g$ são diferenciáveis, então

$$\frac{d}{dx}\,[f(x)\,g(x)] = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x)$$

Um jeito comum de dizer: **derivada da primeira vezes a segunda, mais a primeira vezes a derivada da segunda.** Abreviando, $(fg)' = f'g + fg'$.

Com três fatores o padrão continua, com um fator derivado por termo:

$$(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'$$

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: uma potência vezes uma função trigonométrica.** Sejam $f = x^2$ e $g = \sin x$, então $f' = 2x$ e $g' = \cos x$:

$$\frac{d}{dx}\,x^2\sin x = 2x\sin x + x^2\cos x$$

**Exemplo 2: uma potência vezes uma exponencial.** Com $f = x$ e $g = e^x$:

$$\frac{d}{dx}\,x e^x = 1 \cdot e^x + x\,e^x = (x + 1)\,e^x$$

**Exemplo 3: um logaritmo.** Com $f = x$ e $g = \ln x$:

$$\frac{d}{dx}\,x\ln x = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$$

**Exemplo 4: dois polinômios, conferindo pela expansão.** Para $(3x + 1)(x^2 - 2)$:

$$3(x^2 - 2) + (3x + 1)(2x) = 3x^2 - 6 + 6x^2 + 2x = 9x^2 + 2x - 6$$

Expandindo primeiro, obtemos $3x^3 + x^2 - 6x - 2$, cuja derivada também é $9x^2 + 2x - 6$.

**Exemplo 5: três fatores.** Para $x\,e^x\sin x$:

$$\frac{d}{dx}\,x e^x \sin x = e^x\sin x + x e^x\sin x + x e^x\cos x$$

## Quando usar a regra do produto

Use quando dois (ou mais) fatores **dependem de $x$**:

| Expressão | Usar a regra do produto? |
| --- | --- |
| $x^3\cos x$ | Sim |
| $e^x \ln x$ | Sim |
| $5\sin x$ | Não, $5$ é constante: [regra da constante multiplicativa](/rules/constant-multiple-rule) |
| $\sin(x^2)$ | Não, é uma composição: [regra da cadeia](/rules/chain-rule) |
| $\frac{x^2}{x + 1}$ | Use a [regra do quociente](/rules/quotient-rule), ou a regra do produto em $x^2(x+1)^{-1}$ |

Muitas derivadas precisam da regra do produto e da regra da cadeia juntas. Para $x^2 e^{3x}$, a regra do produto separa os fatores e a regra da cadeia cuida de $e^{3x}$: o resultado é $2x e^{3x} + 3x^2 e^{3x}$.

## Por que a regra do produto funciona

Parta da [definição da derivada por limite](/blog/limit-definition-of-the-derivative) e some e subtraia $f(x+h)g(x)$ no numerador:

$$\frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h} = f(x+h)\,\frac{g(x+h) - g(x)}{h} + g(x)\,\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

Quando $h \to 0$, $f(x+h) \to f(x)$ porque funções diferenciáveis são contínuas, e os dois quocientes de diferenças viram $g'(x)$ e $f'(x)$. Sobra $f(x)g'(x) + g(x)f'(x)$.

Imagine um retângulo de lados $f$ e $g$. Quando os dois lados crescem um pouco, a área ganha uma faixa de tamanho $f'g$ ao longo de um lado e uma faixa de tamanho $fg'$ ao longo do outro.

## Erros comuns

1. **Multiplicar as derivadas.** $\frac{d}{dx}\,x^2\sin x \ne 2x\cos x$. Você precisa de dois termos.
2. **Derivar os dois fatores no mesmo termo.** Cada termo tem exatamente um fator derivado.
3. **Usá-la em um múltiplo constante.** Funciona, mas é perda de tempo. $\frac{d}{dx}\,4x^3$ é simplesmente $12x^2$.
4. **Esquecer a regra da cadeia dentro de um fator.** Em $x\sin(2x)$, a derivada de $\sin(2x)$ é $2\cos(2x)$, então a resposta é $\sin(2x) + 2x\cos(2x)$.

Integrando a regra do produto, obtém-se a [integração por partes](/rules/integration-by-parts-rule). Para mais exemplos e uma comparação lado a lado com a regra do quociente, leia o guia completo das [regras do produto e do quociente](/blog/product-and-quotient-rules).

## Perguntas frequentes

### O que é a regra do produto no cálculo?

A regra do produto diz que $\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$. Você deriva um fator de cada vez e soma os dois resultados.

### A ordem importa na regra do produto?

Não. A adição é comutativa, então $f'g + fg'$ e $fg' + f'g$ são iguais. A ordem só importa na regra do quociente, que tem uma subtração.

### Como usar a regra do produto com três funções?

Derive um fator de cada vez e some: $(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'$. Cada termo tem exatamente um fator derivado.

### Quando usar a regra do produto em vez de expandir?

Expanda quando o produto for de dois polinômios curtos. Use a regra do produto quando um fator for uma função trigonométrica, exponencial ou logarítmica, ou quando expandir daria muito trabalho.