# Regra do quociente para derivadas: fórmula, macete e exemplos

> A regra do quociente: (f/g)' = (f'g − fg')/g². A fórmula, um macete para memorizar, exemplos resolvidos, quando evitá-la e erros comuns.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/regras/regra-do-quociente
Atualizado: 2026-11-03

$$ \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{[g(x)]^2} $$

## Visão geral

- **Aplica-se a:** Um quociente de duas funções diferenciáveis, onde $g(x) \ne 0$
- **Em palavras:** Derivada de cima vezes a de baixo, menos a de cima vezes a derivada de baixo, sobre a de baixo ao quadrado
- **A ordem importa:** Sim, o numerador tem uma subtração, então comece por $f'g$
- **Evite quando:** O denominador for uma constante ou uma única potência de $x$
- **Deduzida de:** Regra do produto e regra da cadeia aplicadas a $f \cdot g^{-1}$

## Pontos principais

- A derivada de $\frac{f}{g}$ é $\frac{f'g - fg'}{g^2}$. O sinal de menos faz a ordem importar.
- Macete: derivada de cima vezes a de baixo, menos a de cima vezes a derivada de baixo, tudo sobre a de baixo ao quadrado.
- Se o denominador for uma constante ou uma única potência de $x$, reescreva e dispense a regra do quociente.

A **regra do quociente** encontra a derivada de uma função dividida por outra. Assim como a [regra do produto](/rules/product-rule), ela não é o que você talvez imagine à primeira vista: a derivada de $\frac{f}{g}$ não é $\frac{f'}{g'}$. O numerador tem uma subtração, então a ordem dos termos importa.

## A fórmula da regra do quociente

Se $f$ e $g$ são diferenciáveis e $g(x) \ne 0$, então

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{[g(x)]^2}$$

O macete clássico, com "a de cima" sendo o numerador e "a de baixo" o denominador:

> **Derivada de cima vezes a de baixo, menos a de cima vezes a derivada de baixo, sobre a de baixo ao quadrado.**

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: uma função racional.** Para $\frac{x^2}{x + 1}$, tome $f = x^2$, $f' = 2x$, $g = x + 1$, $g' = 1$:

$$\frac{2x(x+1) - x^2(1)}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}$$

**Exemplo 2: simplifique o numerador.** Para $\frac{3x - 1}{x^2 + 1}$:

$$\frac{3(x^2 + 1) - (3x - 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{3x^2 + 3 - 6x^2 + 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-3x^2 + 2x + 3}{(x^2 + 1)^2}$$

**Exemplo 3: a derivada de $\tan x$.** Escreva $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$$\frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$$

**Exemplo 4: uma exponencial sobre uma potência.** Para $\frac{e^x}{x}$:

$$\frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{e^x(x - 1)}{x^2}$$

```graph
title: 'Gráfico de y = eˣ/x e de sua derivada eˣ(x − 1)/x²'
caption: 'A derivada se anula em $x = 1$, onde $\frac{e^x}{x}$ atinge seu valor mínimo $e$ em $x > 0$.'
x: [0.2, 3]
y: [-3, 8]
functions:
  - expr: e^x/x
    label: y = eˣ/x
  - expr: e^x*(x-1)/x^2
    label: derivada
    dashed: true
points:
  - [1, 2.718, '(1, e)']
```

## Quando dispensar a regra do quociente

Nem toda fração precisa da regra do quociente. Reescrever costuma ser mais rápido e menos sujeito a erros:

| Função | Reescrita | Derivada |
| --- | --- | --- |
| $\frac{x^3}{5}$ | $\frac{1}{5}x^3$ | $\frac{3}{5}x^2$ |
| $\frac{4}{x^2}$ | $4x^{-2}$ | $-\frac{8}{x^3}$ |
| $\frac{x^3 + x}{x}$ | $x^2 + 1$ (para $x \ne 0$) | $2x$ |
| $\frac{2}{\sqrt{x}}$ | $2x^{-1/2}$ | $-x^{-3/2}$ |

A primeira usa a [regra da constante multiplicativa](/rules/constant-multiple-rule); as outras usam a [regra da potência](/rules/power-rule) e a [regra da soma](/rules/sum-and-difference-rule).

## De onde vem a regra do quociente

Escreva $\frac{f}{g} = f \cdot g^{-1}$. A regra do produto e a [regra da cadeia](/rules/chain-rule) dão

$$f' \cdot g^{-1} + f \cdot (-g^{-2}g') = \frac{f'}{g} - \frac{fg'}{g^2} = \frac{f'g - fg'}{g^2}$$

Então, se esquecer a fórmula, você sempre pode recorrer à regra do produto.

## Erros comuns

1. **Trocar a ordem no numerador.** $fg' - f'g$ dá o oposto da resposta certa.
2. **Esquecer de elevar o denominador ao quadrado.** Embaixo fica $g^2$, não $g$.
3. **Dividir as derivadas.** $\left(\frac{f}{g}\right)' \ne \frac{f'}{g'}$.
4. **Expandir o denominador.** Deixe $(x+1)^2$ fatorado. A resposta fica mais simples e os zeros e as mudanças de sinal ficam fáceis de ver.
5. **Confundir com a regra de L'Hôpital.** A [regra de L'Hôpital](/rules/lhopitals-rule) deriva o numerador e o denominador separadamente para calcular um limite. A regra do quociente calcula uma derivada.

Para uma explicação mais longa das duas regras juntas, leia o guia completo das [regras do produto e do quociente](/blog/product-and-quotient-rules).

## Perguntas frequentes

### O que é a regra do quociente?

A regra do quociente diz que $\frac{d}{dx}\frac{f}{g} = \frac{f'g - fg'}{g^2}$. Ela dá a derivada de uma função dividida por outra.

### Qual é o macete da regra do quociente?

"Derivada de cima vezes a de baixo, menos a de cima vezes a derivada de baixo, sobre a de baixo ao quadrado." A de baixo é o denominador $g$ e a de cima é o numerador $f$.

### A ordem importa na regra do quociente?

Sim. Trocar os dois termos do numerador inverte o sinal da resposta. Comece sempre pela derivada do numerador vezes o denominador.

### Quando não usar a regra do quociente?

Quando o denominador for uma constante, use a regra da constante multiplicativa. Quando for uma única potência como $x^3$, reescreva com expoente negativo e use a regra da potência.