# Teste da razão para séries: fórmula, condições e exemplos

> O teste da razão (critério de d'Alembert): calcule L = lim |a(n+1)/a(n)|. Se L < 1 a série converge absolutamente, se L > 1 diverge, e L = 1 é inconclusivo.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/regras/teste-da-razao
Atualizado: 2026-11-03

$$ L = \lim_{n\to\infty} \left\lvert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\rvert $$

## Visão geral

- **L < 1:** A série converge absolutamente
- **L > 1 ou L = ∞:** A série diverge
- **L = 1:** Inconclusivo: use outro teste
- **Ideal para:** Fatoriais, exponenciais como $3^n$ e produtos delas com potências de $n$
- **Fraco em:** Funções racionais de $n$ e séries $p$, que sempre dão $L = 1$

## Pontos principais

- Calcule $L = \lim \left\lvert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\rvert$ e compare com $1$.
- $L < 1$ significa convergência absoluta; $L > 1$ significa divergência; $L = 1$ não diz nada.
- Recorra ao teste da razão sempre que aparecerem fatoriais ou potências $n$-ésimas como $2^n$.
- É a ferramenta padrão para encontrar o raio de convergência de uma série de potências.

O **teste da razão** (também chamado de critério de d'Alembert) decide se uma série converge perguntando com que rapidez seus termos encolhem. Se, a partir de certo ponto, cada termo for uma fração fixa menor que o anterior, a série se comporta como uma [série geométrica](/rules/geometric-series-formula) convergente.

## O teste da razão

Seja $\sum a_n$ uma série de termos não nulos (pelo menos para $n$ grande), e seja

$$L = \lim_{n\to\infty} \left\lvert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\rvert$$

| Valor de $L$ | Conclusão |
| --- | --- |
| $L < 1$ | $\sum a_n$ converge absolutamente |
| $L > 1$ ou $L = \infty$ | $\sum a_n$ diverge |
| $L = 1$ | Inconclusivo |

Se o limite não existir e não for $\infty$, o teste, nesta forma, não se aplica.

## Por que funciona

Se $L < 1$, escolha um número $r$ com $L < r < 1$. Para $n$ grande, cada $\lvert a_{n+1}\rvert$ é no máximo $r\lvert a_n\rvert$, então a cauda de $\sum \lvert a_n\rvert$ é limitada por uma série geométrica de razão $r$, que converge. Se $L > 1$, os termos acabam crescendo em módulo, então não podem tender a $0$, e o [teste do termo geral](/rules/nth-term-test) dá a divergência.

## Como aplicar

1. Escreva $a_{n+1}$ trocando cada $n$ em $a_n$ por $n + 1$.
2. Forme $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ e simplifique. Inverta a fração de baixo e multiplique.
3. Use $\frac{(n+1)!}{n!} = n + 1$ e $\frac{c^{n+1}}{c^n} = c$ para cancelar.
4. Calcule o limite do valor absoluto e compare com $1$.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: uma potência vezes uma exponencial.** Para $\sum \frac{n}{2^n}$:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{2^{n+1}}\cdot\frac{2^n}{n} = \frac{n+1}{2n} \to \frac{1}{2}$$

Como $L = \frac{1}{2} < 1$, a série converge.

**Exemplo 2: um fatorial.** Para $\sum \frac{3^n}{n!}$:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{3^n} = \frac{3}{n+1} \to 0$$

$L = 0 < 1$, então converge. (Sua soma é $e^3 - 1$ começando em $n = 1$.)

**Exemplo 3: divergência.** Para $\sum \frac{n!}{10^n}$:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{10^{n+1}}\cdot\frac{10^n}{n!} = \frac{n+1}{10} \to \infty$$

A série diverge. O fatorial acaba superando qualquer exponencial.

**Exemplo 4: sinais alternados.** Para $\sum \frac{(-2)^n}{n^2}$, o valor absoluto elimina o sinal:

$$\left\lvert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\rvert = 2\cdot\frac{n^2}{(n+1)^2} \to 2$$

$L = 2 > 1$, então a série diverge.

**Exemplo 5: inconclusivo.** Para $\sum \frac{1}{n^2}$, $\frac{n^2}{(n+1)^2} \to 1$. O teste da razão não dá resposta, embora a série convirja como série $p$ com $p = 2$.

## Raio de convergência

O teste da razão é a principal ferramenta para [séries de potências](/blog/power-series). Para $\sum \frac{x^n}{n}$:

$$\left\lvert \frac{x^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{x^n} \right\rvert = \lvert x\rvert\,\frac{n}{n+1} \to \lvert x\rvert$$

A série converge quando $\lvert x\rvert < 1$, então o raio de convergência é $1$. As extremidades $x = \pm 1$ dão $L = 1$ e precisam ser verificadas separadamente.

## Teste da razão e teste da raiz

O teste da raiz usa $L = \lim \sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}$ com os mesmos três resultados possíveis. Ele é mais fácil quando o termo inteiro está elevado à $n$-ésima potência, como em $\sum \left(\frac{2n}{3n+1}\right)^n$, em que $\sqrt[n]{a_n} = \frac{2n}{3n+1} \to \frac{2}{3}$. O teste da razão é mais fácil quando aparecem fatoriais, porque fatoriais não têm raiz $n$-ésima simples, mas se cancelam bem numa razão. Quando os dois se aplicam, dão o mesmo $L$.

## Erros comuns

1. **Usá-lo em expressões racionais ou com raízes em $n$.** Qualquer coisa como $\frac{n^2+1}{n^4}$ dá $L = 1$. Use um teste de comparação ou o critério da série $p$.
2. **Interpretar $L = 1$ como convergência ou divergência.** Significa que o teste falhou.
3. **Inverter a razão.** É $\frac{a_{n+1}}{a_n}$, o próximo termo sobre o atual. A razão invertida troca o significado do resultado.
4. **Errar a álgebra dos fatoriais.** $(2(n+1))! = (2n+2)!$, que é $(2n+2)(2n+1)\cdot(2n)!$, e não $2(n+1)!$.

Para ver como o teste da razão se relaciona com os testes da raiz, da comparação e da integral, leia o guia completo de [testes de convergência](/blog/convergence-tests).

## Perguntas frequentes

### O que é o teste da razão?

Ele compara termos consecutivos de uma série. Se $L = \lim \left\lvert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\rvert$ for menor que $1$, a série converge absolutamente; se for maior que $1$ (ou infinito), a série diverge; e se $L = 1$, o teste é inconclusivo.

### O que acontece quando o teste da razão dá 1?

Nada pode ser concluído. Tanto $\sum \frac{1}{n}$ (divergente) quanto $\sum \frac{1}{n^2}$ (convergente) dão $L = 1$, então você precisa de outro teste, como o da comparação ou o da integral.

### Quando devo usar o teste da razão?

Use quando os termos tiverem fatoriais, exponenciais como $5^n$, ou $n^n$. Eles se simplificam bem quando você divide um termo pelo anterior.

### O teste da razão prova convergência absoluta ou condicional?

Quando $L < 1$, ele prova convergência absoluta, que é mais forte que convergência. Ele nunca detecta convergência condicional, porque séries condicionalmente convergentes dão $L = 1$.