# Teste da série alternada: condições, estimativa do erro e exemplos

> O teste da série alternada (critério de Leibniz): se bₙ decresce para 0, a série de (−1)ⁿbₙ converge. Condições, estimativa do erro e exemplos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/regras/teste-da-serie-alternada
Atualizado: 2026-11-03

$$ b_n \ge b_{n+1} > 0,\ \lim_{n\to\infty} b_n = 0 \;\Longrightarrow\; \sum (-1)^{n+1} b_n \text{ converge} $$

## Visão geral

- **Também chamado de:** Critério de Leibniz
- **Condição 1:** Os termos alternam de sinal: $\sum (-1)^{n+1} b_n$ com $b_n > 0$
- **Condição 2:** $b_n$ é decrescente, pelo menos a partir de algum termo
- **Condição 3:** $\lim_{n\to\infty} b_n = 0$
- **Estimativa do erro:** $\lvert S - S_N\rvert \le b_{N+1}$
- **Não prova:** Divergência, nem convergência absoluta

## Pontos principais

- Uma série alternada converge se os módulos $b_n$ decrescem e tendem a $0$.
- O erro depois de $N$ termos é no máximo o próximo termo: $\lvert S - S_N\rvert \le b_{N+1}$.
- Passar no teste pode significar convergência condicional, como em $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}$.
- Se $b_n$ não tende a $0$, a série diverge pelo teste do termo geral.

O **teste da série alternada**, também conhecido como critério de Leibniz, trata das séries cujos termos trocam de sinal, como $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$. Se os módulos dos termos diminuem sem parar até zero, as somas parciais oscilam em zigue-zague cada vez mais perto de um limite, e a série converge.

## O teste

Suponha $b_n > 0$ para todo $n$. A série

$$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} b_n = b_1 - b_2 + b_3 - b_4 + \cdots$$

converge se:

1. $b_{n+1} \le b_n$ para todo $n$ (ou para todo $n$ a partir de algum ponto), e
2. $\lim_{n\to\infty} b_n = 0$.

O mesmo vale para $\sum (-1)^n b_n$, que apenas troca todos os sinais.

## A estimativa do erro

Se as condições valem e $S$ é a soma, a soma parcial $S_N$ fica a no máximo um termo do valor verdadeiro:

$$\lvert S - S_N\rvert \le b_{N+1}$$

Além disso, $S$ fica entre quaisquer duas somas parciais consecutivas. Esse é o **teorema da estimativa da série alternada**, e ele torna as séries alternadas fáceis de aproximar.

```graph
title: 'Somas parciais da série harmônica alternada oscilando em direção a ln 2'
caption: 'As somas parciais ímpares ficam acima de $\ln 2 \approx 0.693$ e as pares abaixo, com a distância diminuindo a cada passo.'
x: [0, 9]
y: [0.4, 1.1]
functions:
  - expr: ln(2)
    label: y = ln 2
    dashed: true
points:
  - [1, 1, 'S1 = 1']
  - [2, 0.5, 'S2 = 0.5']
  - [3, 0.8333]
  - [4, 0.5833]
  - [5, 0.7833]
  - [6, 0.6167]
  - [7, 0.7595]
  - [8, 0.6345]
```

## Por que funciona

Como os $b_n$ decrescem, cada passo ultrapassa o limite menos que o anterior. As somas parciais pares $S_2, S_4, S_6, \ldots$ crescem, as ímpares $S_1, S_3, S_5, \ldots$ decrescem, e toda soma par fica abaixo de toda soma ímpar. As duas sequências são limitadas e monótonas, então convergem, e como $S_{2k+1} - S_{2k} = b_{2k+1} \to 0$, convergem para o mesmo limite.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: a série harmônica alternada.** Para $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}$, $b_n = \frac{1}{n}$ é positivo, decrescente e tende a $0$. A série converge (para $\ln 2$). Como $\sum \frac{1}{n}$ diverge, a convergência é **condicional**.

**Exemplo 2: falhando na condição do limite.** Para $\sum (-1)^n \frac{n}{n+1}$, $b_n = \frac{n}{n+1} \to 1 \ne 0$. O teste da série alternada não se aplica, e o [teste do termo geral](/rules/nth-term-test) mostra que a série diverge.

**Exemplo 3: verificando o decrescimento com uma derivada.** Para $\sum (-1)^{n+1}\frac{\ln n}{n}$ (começando em $n = 2$), seja $f(x) = \frac{\ln x}{x}$. Então $f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2} < 0$ para $x > e$, logo $b_n$ decresce para $n \ge 3$, e $\frac{\ln n}{n} \to 0$. A série converge.

**Exemplo 4: estimando uma soma.** A série $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n!} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{6} - \frac{1}{24} + \cdots$ satisfaz o teste. Quatro termos dão

$$S_4 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{6} - \frac{1}{24} = \frac{5}{8} = 0.625$$

com erro de no máximo $b_5 = \frac{1}{120} \approx 0.0083$. A soma verdadeira é $1 - \frac{1}{e} \approx 0.6321$, e o erro real é de cerca de $0.0071$.

## Convergência absoluta e condicional

O teste prova a convergência, mas não diz nada sobre convergência absoluta. Verifique $\sum b_n$ separadamente:

| Série | $\sum b_n$ | Conclusão |
| --- | --- | --- |
| $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}$ | converge | absolutamente convergente |
| $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ | diverge | condicionalmente convergente |
| $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}$ | diverge | condicionalmente convergente |

O [teste da razão](/rules/ratio-test) dá $L = 1$ para as três, então não decide nenhuma delas.

## Erros comuns

1. **Usar o teste para provar divergência.** Falhar na condição de decrescimento não significa divergência. Só $b_n \not\to 0$ significa, e isso é o teste do termo geral.
2. **Incluir o sinal em $b_n$.** $b_n$ é o módulo positivo do termo, sem o $(-1)^n$.
3. **Pular a verificação do decrescimento.** Normalmente ela vale, mas precisa ser verificada, às vezes com uma derivada.
4. **Chamar uma série de absolutamente convergente** só porque passou neste teste.

Para comparar todos os testes de convergência e saber qual escolher, leia o guia completo de [testes de convergência](/blog/convergence-tests).

## Perguntas frequentes

### Quais são as condições do teste da série alternada?

A série precisa ter a forma $\sum (-1)^{n+1} b_n$ (ou $\sum (-1)^n b_n$) com $b_n > 0$, os $b_n$ precisam ser decrescentes (pelo menos a partir de algum termo) e $\lim b_n = 0$. Se as três valem, a série converge.

### A série harmônica alternada converge?

Sim. $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \cdots$ passa no teste e converge para $\ln 2$. Ela converge apenas condicionalmente, já que $\sum \frac{1}{n}$ diverge.

### Qual é a estimativa do erro da série alternada?

Se a série satisfaz o teste, parar depois de $N$ termos dá um erro não maior que o primeiro termo omitido: $\lvert S - S_N\rvert \le b_{N+1}$.

### E se uma série alternada não passa no teste?

Se $b_n \not\to 0$, a série diverge pelo teste do termo geral. Se só a condição de decrescimento falha, o teste é inconclusivo e você precisa de outro método.