# Teorema da Divergência (Teorema de Gauss): enunciado e exemplos > Teorema da divergência: o fluxo de um campo vetorial para fora de uma superfície fechada é a integral tripla do divergente. Enunciado e exemplos. Fonte: https://practicecalculus.com/pt/teoremas/teorema-da-divergencia Atualizado: 2026-11-03 $$ \iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_E \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV $$ ## Visão geral - **Também chamado:** Teorema de Gauss, teorema de Gauss-Ostrogradsky - **Hipóteses:** $E$ é uma região sólida cuja fronteira $S$ é uma superfície fechada, suave por partes e orientada para fora, e $\mathbf{F}$ tem derivadas parciais contínuas em uma região aberta que contém $E$ - **Divergente:** $\nabla\cdot\mathbf{F} = P_x + Q_y + R_z$ para $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$ - **Em palavras:** O fluxo total que sai pela superfície é igual à intensidade total das fontes no interior - **Versão 2D:** A forma de fluxo do teorema de Green - **Disciplina:** Cálculo 3 ## Pontos principais - O fluxo para fora de uma superfície fechada é igual à integral tripla do divergente sobre o sólido interior. - A superfície precisa ser fechada e orientada para fora. Para uma superfície aberta, feche-a primeiro e subtraia a parte adicionada. - $\mathbf{F}$ precisa ser suave em todo o sólido. Uma fonte pontual no interior, como um campo do inverso do quadrado, quebra o teorema. - Use-o quando o divergente for mais simples que o campo ou quando a superfície tiver muitas partes. O **teorema da divergência**, também chamado de teorema de Gauss, diz que o fluxo total de um campo vetorial para fora de uma superfície fechada é igual ao divergente total do campo no interior. O que escoa para fora pela casca precisa ser produzido por fontes no interior. ## Enunciado do teorema da divergência Sejam 1. $E$ uma região sólida do espaço cuja fronteira $S$ é uma **superfície fechada e suave por partes**, 2. $S$ orientada pela normal **para fora** $\mathbf{n}$, e 3. $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$ com **derivadas parciais contínuas** em uma região aberta que contém $E$. Então $$\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_E \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV, \qquad \nabla\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$$ Aqui $\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_S \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS$ é o fluxo para fora. ## O que o teorema da divergência significa Pense em $\mathbf{F}$ como a velocidade de um fluido. O divergente em um ponto é a taxa com que o fluido é criado ali por unidade de volume: positivo em uma fonte, negativo em um sumidouro. Somando toda a criação dentro do sólido, obtemos a quantidade total que sai pela superfície. Como no [teorema de Green](/theorems/greens-theorem), o fluxo através de cada parede interna entre caixinhas vizinhas se cancela, e só sobra a fronteira externa. ## Por que cada hipótese importa **Suavidade no interior.** O campo do inverso do quadrado $\mathbf{F} = \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3}$, onde $\mathbf{r} = \langle x, y, z \rangle$, tem $\nabla\cdot\mathbf{F} = 0$ em todo lugar exceto na origem, onde não está definido. Mesmo assim, na esfera unitária $\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} = 1$, então o fluxo é a área da superfície, $4\pi$, e não $0$. O teorema falha porque $E$ contém o ponto singular. Essa é exatamente a lei de Gauss: o fluxo mede a carga pontual no interior. **Uma superfície fechada.** O fluxo através de uma superfície aberta, como um hemisfério, não é determinado apenas pelo divergente. Feche a superfície primeiro. **Orientação para fora.** Usar normais para dentro troca o sinal do fluxo. ## Exemplos resolvidos **Exemplo 1: $\mathbf{F} = \langle x, y, z \rangle$ através de uma esfera de raio $R$.** **Passo 1.** $\nabla\cdot\mathbf{F} = 1 + 1 + 1 = 3$. **Passo 2.** $\iiint_E 3\,dV = 3\cdot\frac{4}{3}\pi R^3 = 4\pi R^3$. **Verificação direta.** Na esfera, $\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}}{R}$, então $\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{R} = R$. O fluxo é $R$ vezes a área $4\pi R^2$, ou seja, $4\pi R^3$. **Exemplo 2: $\mathbf{F} = \langle x^3, y^3, z^3 \rangle$ através da esfera unitária.** $\nabla\cdot\mathbf{F} = 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 = 3\rho^2$ em coordenadas esféricas. Então $$\iiint_E 3\rho^2\,dV = \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^1 3\rho^2\cdot\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = 3\cdot\frac{1}{5}\cdot 2\cdot 2\pi = \frac{12\pi}{5}$$ Calcular esse fluxo como integral de superfície daria muito mais trabalho. **Exemplo 3: um cubo com seis faces.** Encontre o fluxo para fora de $\mathbf{F} = \langle x^2, yz, z \rangle$ através da superfície do cubo unitário $[0, 1]^3$. **Passo 1.** $\nabla\cdot\mathbf{F} = 2x + z + 1$. **Passo 2.** Integre sobre o cubo, termo a termo (cada uma das outras variáveis integra para $1$): $$\iiint_E (2x + z + 1)\,dV = 1 + \frac{1}{2} + 1 = \frac{5}{2}$$ Uma integral tripla substitui seis integrais de superfície separadas. ## Erros comuns 1. **Aplicar o teorema a uma superfície aberta.** O teorema exige a fronteira fechada de um sólido. 2. **Não perceber uma singularidade.** Verifique se $\mathbf{F}$ está definido e é suave em todos os pontos do interior, especialmente na origem. 3. **Confundir divergente com rotacional.** O divergente é um escalar, $P_x + Q_y + R_z$; o rotacional é um vetor e pertence ao [teorema de Stokes](/theorems/stokes-theorem). ## Teoremas e guias relacionados O teorema da divergência, o [teorema de Stokes](/theorems/stokes-theorem) e o [teorema de Green](/theorems/greens-theorem) são versões de uma mesma ideia: integrar uma derivada sobre uma região é o mesmo que integrar o campo original sobre a fronteira, assim como no [Teorema Fundamental do Cálculo](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2). Para o lado da integral tripla, comece por [integrais duplas](/blog/double-integrals) e, para as operações com vetores, veja [vetores, produto escalar e produto vetorial](/blog/vectors-dot-and-cross-product). ## Perguntas frequentes ### O que diz o teorema da divergência? Se $E$ é uma região sólida com superfície de fronteira fechada $S$ orientada para fora, e $\mathbf{F}$ tem derivadas parciais contínuas em uma região que contém $E$, então $\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_E \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV$. ### Quando usar o teorema da divergência? Use-o para calcular o fluxo através de uma superfície fechada, como uma esfera, um cubo ou um cilindro com tampas, principalmente quando o divergente é uma expressão simples. Uma única integral tripla substitui várias integrais de superfície. ### Dá para usar o teorema da divergência em uma superfície aberta? Não diretamente. Acrescente uma superfície que a feche, como um disco plano em um hemisfério, aplique o teorema à superfície fechada e depois subtraia o fluxo através da parte adicionada. ### Qual a diferença entre o teorema da divergência e o teorema de Stokes? O teorema da divergência relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com o divergente no volume interior. O teorema de Stokes relaciona a circulação ao longo de uma curva fechada com o fluxo do rotacional através de uma superfície limitada por essa curva.